Funzioni iniettive e suriettive
Ciao a tutti!!!
Svolgendo alcuni esercizi sulle funzioni iniettive e suriettive ho trovato delle difficoltà in questi ultimi:
a) $ f : x in ZZ rarr |x| + 3 in NN $
b) $ f : x in ZZ rarr x - x^2 +1 in ZZ $
potete darmi una mano?
vi ringrazio anticipatamente
Alberto
Svolgendo alcuni esercizi sulle funzioni iniettive e suriettive ho trovato delle difficoltà in questi ultimi:
a) $ f : x in ZZ rarr |x| + 3 in NN $
b) $ f : x in ZZ rarr x - x^2 +1 in ZZ $
potete darmi una mano?
vi ringrazio anticipatamente
Alberto
Risposte
Basta ragionare un pò sulle definizioni di funzione iniettiva e suriettiva. Prova a postare un tuo tentativo di risoluzione.
Svolgo per prima questa funzione
$ f : x in ZZ rarr x - x^2 +1 in ZZ $
per definizione questa funzione si dirà iniettiva se e solo se il risultato dell'equazione f(x) = f(y) ci porta ad x = y quindi risolviamo:
$ x - x^2 +1 = y - y^2 + 1 $
i due +1 si eliminano
$ x-x^2=y-y^2 $
ora
$ x-y=x^2-y^2 $
$ x-y=(x-y)*(x+y) $
$ (x-y)/(x-y)=x+y $
$ 1=x+y $
$ 1-x=y $
quindi come si può notare la funzione nn è iniettiva
ora passiamo alla suriettività:
una funzione si dice suriettiva se e solo se risolvendo f(x)=y troviamo f(y)=x quindi:
$ x-x^2+1=y $
$ x-x^2=y-1 $
$ x(1-x)=y-1 $
da questo passaggio in poi ho dei dubbi..
io lo svolgerei cosi
$ x=y-1 $
$ 1-x =y-1 $
$ x=2-y $
quindi secondo i miei calcoli nn è suriettiva...o sbaglio?
$ f : x in ZZ rarr x - x^2 +1 in ZZ $
per definizione questa funzione si dirà iniettiva se e solo se il risultato dell'equazione f(x) = f(y) ci porta ad x = y quindi risolviamo:
$ x - x^2 +1 = y - y^2 + 1 $
i due +1 si eliminano
$ x-x^2=y-y^2 $
ora
$ x-y=x^2-y^2 $
$ x-y=(x-y)*(x+y) $
$ (x-y)/(x-y)=x+y $
$ 1=x+y $
$ 1-x=y $
quindi come si può notare la funzione nn è iniettiva
ora passiamo alla suriettività:
una funzione si dice suriettiva se e solo se risolvendo f(x)=y troviamo f(y)=x quindi:
$ x-x^2+1=y $
$ x-x^2=y-1 $
$ x(1-x)=y-1 $
da questo passaggio in poi ho dei dubbi..
io lo svolgerei cosi
$ x=y-1 $
$ 1-x =y-1 $
$ x=2-y $
quindi secondo i miei calcoli nn è suriettiva...o sbaglio?
Per quando riguarda l'altra funzione:
$ f : x in ZZ rarr |x| +3 in NN $
per trovare la iniettività seguo questi passaggi:
$ |x|+3 = |y| +3 $
semplifichiamo il +3 ed otteniamo:
$ |x| = |y| $
quindi è iniettiva
Per la suriettività seguo questi passaggi:
$ |x|+3=y $ (y deve essere messo in valore assoluto?)
$ |x|=y+3 $
quindi non è suriettiva????? perchè mettendo il valore assoluto lo sarebbe...
$ f : x in ZZ rarr |x| +3 in NN $
per trovare la iniettività seguo questi passaggi:
$ |x|+3 = |y| +3 $
semplifichiamo il +3 ed otteniamo:
$ |x| = |y| $
quindi è iniettiva
Per la suriettività seguo questi passaggi:
$ |x|+3=y $ (y deve essere messo in valore assoluto?)
$ |x|=y+3 $
quindi non è suriettiva????? perchè mettendo il valore assoluto lo sarebbe...
secondo me
$f:ZZ -> NN$
$x |-> |x|+3$
non e' iniettiva in quanto $f(x)=f(-x)$
$f:ZZ -> NN$
$x |-> |x|+3$
non e' iniettiva in quanto $f(x)=f(-x)$
inoltre la funzione dovrebbe essere non suriettiva in quanto non soddisfa la condizione per cui
per $AAy in Y, EEx in X|f(x)=y$
Ad esempio l'insieme delle immagini di $f$ e' dato dai valori $>=3$, ma nel codominio $NN$ ci sono anche i numeri $0,1,2$ che non
non si possono "ottenere" da $y=|x|+3$
Anche se provi con l'inversa $g: NN -> ZZ$, $x=|y-3|$, e fai la composizione con $f_o g=||x-3||+3=1_NN=x$ e' valida solo per valori di $x>=3$
con la speranza di non aver scritto delle grosse fesserie (attendo conferme)
per $AAy in Y, EEx in X|f(x)=y$
Ad esempio l'insieme delle immagini di $f$ e' dato dai valori $>=3$, ma nel codominio $NN$ ci sono anche i numeri $0,1,2$ che non
non si possono "ottenere" da $y=|x|+3$
Anche se provi con l'inversa $g: NN -> ZZ$, $x=|y-3|$, e fai la composizione con $f_o g=||x-3||+3=1_NN=x$ e' valida solo per valori di $x>=3$
con la speranza di non aver scritto delle grosse fesserie (attendo conferme)
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