Funzioni iniettive e suriettive
Preparando l'esame di Matematica Discreta mi sono imbattuta in questo esercizio:
$ f: Zrarr Z $
$ f(x) = { ( x ( pari ) ),( -x ( dispari)):} $
Cioè se f(x) = x se x è pari, f(x) = - x se x è dispari.
Questa funzione è iniettiva? È suriettiva?
Iniettiva:
Graficamente a me risulta iniettiva.
Ho provato a riportarmi nel grafico alcuni punti come: $ f(1)= -1 $ , $ f(-1)= 1 $ , $ f(2)= 2 $ e mi sembra iniettiva.
So che per essere iniettiva non deve passare due volte in uno stesso punto y, qui so per certo che non passerà per la stessa y anche solo guardando come si comporta con $ f(1) $ e $ f(-1)$ .
Analiticamente però mi viene che non è iniettiva.
Teoricamente $ f(x_1) = f(x_2) $ implica che $ x_1 = x_2 $.
ma se prendiamo $ x_1 $ dispari $ f(x_1) = - x_1 $, se lo prendiamo $ x_2 $ pari $ f(x_2) = x_2 $
Ho sbagliato graficamente o analiticamente (o entrambi
)?
Suriettiva:
Ancora una volta, graficamente mi risulta suriettiva, perché l'asse delle y viene "coperto" tutto.
Analiticamente anche, perché prendendo ad esempio $ x_1 $ dispari $ f(x_1) = - x_1 $, posso trovarmi $ f( x_1) = - x_1 rarr x_1 = -y $, qualsiasi y prendo.
Sono ragionamenti giusti?
$ f: Zrarr Z $
$ f(x) = { ( x ( pari ) ),( -x ( dispari)):} $
Cioè se f(x) = x se x è pari, f(x) = - x se x è dispari.
Questa funzione è iniettiva? È suriettiva?
Iniettiva:
Graficamente a me risulta iniettiva.
Ho provato a riportarmi nel grafico alcuni punti come: $ f(1)= -1 $ , $ f(-1)= 1 $ , $ f(2)= 2 $ e mi sembra iniettiva.
So che per essere iniettiva non deve passare due volte in uno stesso punto y, qui so per certo che non passerà per la stessa y anche solo guardando come si comporta con $ f(1) $ e $ f(-1)$ .
Analiticamente però mi viene che non è iniettiva.
Teoricamente $ f(x_1) = f(x_2) $ implica che $ x_1 = x_2 $.
ma se prendiamo $ x_1 $ dispari $ f(x_1) = - x_1 $, se lo prendiamo $ x_2 $ pari $ f(x_2) = x_2 $
Ho sbagliato graficamente o analiticamente (o entrambi
)?Suriettiva:
Ancora una volta, graficamente mi risulta suriettiva, perché l'asse delle y viene "coperto" tutto.
Analiticamente anche, perché prendendo ad esempio $ x_1 $ dispari $ f(x_1) = - x_1 $, posso trovarmi $ f( x_1) = - x_1 rarr x_1 = -y $, qualsiasi y prendo.
Sono ragionamenti giusti?
Risposte
Secondo te c'è qualche pari che può diventare dispari solo cambiandolo di segno (e viceversa) ?
I pari rimangono come sono e i dispari cambiano di segno ...
I pari rimangono come sono e i dispari cambiano di segno ...
ehm okay, quiiindi? ahahahha
Scusa non ho capito dove vuoi andare a parare
Scusa non ho capito dove vuoi andare a parare
Dato che la parità si mantiene se $f(x_1)=f(x_2)$ allora le due immagini hanno la stessa parità; se hanno la stessa parità allora quando sono pari avremo $f(x_1)=f(x_2)\ ->\ x_1=x_2$, se dispari avremo $f(x_1)=f(x_2)\ ->\ -x_1=-x_2$ ... dunque è iniettiva ...
Per la suriettività basta notare come detto che i pari coprono tutti i pari direttamente mentre i dispari coprono tutti i dispari tramite l'opposto ...
Per la suriettività basta notare come detto che i pari coprono tutti i pari direttamente mentre i dispari coprono tutti i dispari tramite l'opposto ...
Aaahh okay, non mi era chiaro che dovessi prenderli con la stessa parità, pensavo dovesse essere anche con numeri diversi.
Grazie mille, ora è chiaro
Grazie mille, ora è chiaro
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