Funzioni iniettive e suriettive
Ciao a tutti!
Devo stabile se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive, invertibili e determinare l'inversa:
a)$f:ZZ->ZZ $ $f(x)=x^2+x+1$
b)$f:RR->RR $ $f(x)=x^3-3x^2+3x$
c)$f:ZZ->ZZ $ $f(x)=x^3+3$
Per quanto riguarda la a) non riesco a scomporla e volendo risolvere l'equazione di secondo grado non ha soluzioni poiché il delta è negativo. Come devo procedere?
Mentre la b) posso fare la messa in evidenza e ottengo $x*(x^2-3x+3)$ e poi come procedo?
Infine, per la c) non mi sembra poterla scomporre, verifico con il metodo grafico?
Sino ad ora ho fatto esercizi semplici e ho verficato senza problemi l'iniettività e la suriettività delle funzioni.
Spero di essere stato chiaro. Grazie a chi mi aiuterà.
Devo stabile se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive, invertibili e determinare l'inversa:
a)$f:ZZ->ZZ $ $f(x)=x^2+x+1$
b)$f:RR->RR $ $f(x)=x^3-3x^2+3x$
c)$f:ZZ->ZZ $ $f(x)=x^3+3$
Per quanto riguarda la a) non riesco a scomporla e volendo risolvere l'equazione di secondo grado non ha soluzioni poiché il delta è negativo. Come devo procedere?
Mentre la b) posso fare la messa in evidenza e ottengo $x*(x^2-3x+3)$ e poi come procedo?
Infine, per la c) non mi sembra poterla scomporre, verifico con il metodo grafico?
Sino ad ora ho fatto esercizi semplici e ho verficato senza problemi l'iniettività e la suriettività delle funzioni.
Spero di essere stato chiaro. Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Ciao Skeggia!
a) la funzione (vista come $f:RRrarrRR$) è una parabola convessa $rArr$ non è suriettiva da $RR$ in $RR$ $rArr$ non è suriettiva da $ZZ$ in $ZZ$.
Per quanto riguarda l'iniettività, la parabola è simmetrica rispetto a $-1/2$ (il suo punto di minimo) e quindi se prendi due interi qualunque "equidistanti" da $-1/2$ ottiene lo stesso valore, ad esempio $f(-1)=f(0)=1$
$rArr$f non è nè iniettiva nè suriettiva
b) non conviene mettere in evidenza, procedi per via analitica.
come tutti i polinomi di grado dispari è suriettiva ($lim_{x \to \infty}f(x)=+oo$ e $lim_{x \to \-infty}f(x)=-oo$).
inoltre è iniettiva poichè $f'(x)=3(x-1)^2$
c) è iniettiva (guarda la derivata).
Non è suriettiva (ad esempio,$EEhinZZ: f(h)=0$? decisamente no)
ciao
a) la funzione (vista come $f:RRrarrRR$) è una parabola convessa $rArr$ non è suriettiva da $RR$ in $RR$ $rArr$ non è suriettiva da $ZZ$ in $ZZ$.
Per quanto riguarda l'iniettività, la parabola è simmetrica rispetto a $-1/2$ (il suo punto di minimo) e quindi se prendi due interi qualunque "equidistanti" da $-1/2$ ottiene lo stesso valore, ad esempio $f(-1)=f(0)=1$
$rArr$f non è nè iniettiva nè suriettiva
b) non conviene mettere in evidenza, procedi per via analitica.
come tutti i polinomi di grado dispari è suriettiva ($lim_{x \to \infty}f(x)=+oo$ e $lim_{x \to \-infty}f(x)=-oo$).
inoltre è iniettiva poichè $f'(x)=3(x-1)^2$
c) è iniettiva (guarda la derivata).
Non è suriettiva (ad esempio,$EEhinZZ: f(h)=0$? decisamente no)
ciao
Scusa, mi ero dimenticato che nell'esercizio (b) dovevi anche trovare l'inversa.
In pratica la questione è esplicitare la x in funzione di y dall'equazione $y=x^3-3x^2+3x$
ti dò solo un suggerimento, prova a sottrarre 1 da entrambi i membri in modo da completare il cubo sulla destra!
[la soluzione è $f^{-1}(x)=1+root(3)(x-1)$]
In pratica la questione è esplicitare la x in funzione di y dall'equazione $y=x^3-3x^2+3x$
ti dò solo un suggerimento, prova a sottrarre 1 da entrambi i membri in modo da completare il cubo sulla destra!
[la soluzione è $f^{-1}(x)=1+root(3)(x-1)$]
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