Funzioni Iniettive

[Mattia B1]

Salve a tutti, posto che una funzione è iniettiva se, presi comunque due elementi distinti del dominio la loro immagine è distinta nel codominio, mi sono domandato se la funzione logaritmo definita da

$ f:RRrarr RR $

e non da

$ f:RR^+rarr RR $

continua ad essere iniettiva ? E soprattutto è possibile definire la funzione logaritmo da $RR$ ?

[Gi81]

Dimentichi una cosa importante: per essere una funzione iniettiva deve essere prima di tutto una funzione.

La relazione $f: RR-> RR$ definita da $f(x)=log(x)$ non è certamente una funzione, in quanto non ben definita.

[byob12]

"Mattia B":è possibile definire la funzione logaritmo da $RR$ ?

ricorda che dati $x in RR$ e $a in RR$ , la funzione $f(x)=log_ax$ è definita solo se $\{(x>0),(a>0),(a!=1):}$

[Mattia B1]

È vero, questa era una cosa che non mi ricordavo (la questione sul fatto che l' applicaizone debba essere definita per ogni elemento del dominio), poi mi è venuto in mente.

Comunque, modifico la domanda, è possibile trovare un codominio $ X $, tale che la funzione:

$ log : RR rarr X $

sia ben definita in tutto $RR$.

Come per esempio

$ f: RRrarr RR $

con $ f(x) = sqrt(x) $

non è definita in tutto $RR$, mentre se consideriamo come codominio il campo complesso allora risulta possibile:

$f: RRrarr CC$

$f(x) = sqrt(x)$

In sostanza quello che mi domando è se sia mai possibile trovare un codominio (che non sia reale) tale che la funzione logaritmo sia definita su tutto $RR$.

[Studente Anonimo]

Sposto in algebra. Attenzione alla sezione, grazie.

[Gi81]

"Mattia B":In sostanza quello che mi domando è se sia mai possibile trovare un codominio (che non sia reale) tale che la funzione logaritmo sia definita su tutto $RR$.

Sì. Anche in questo caso si prende $CC$ come codominio.
Basta tenere presente l'identità di Eulero, cioè $e^(i*pi)=-1$ ($pi$ è il solito numero costante $3.1415...$), e il gioco è fatto.

Infatti abbiamo che $log(-1)=i*pi$
Da questo possiamo trovare quanto vale il logaritmo di qualunque numero reale negativo:
sia $x in RR^-$. Allora $log(-x)=log(-1*-x)=log(-1)+log(-x)=i*pi+log(-x)$
n.b.: $-x in RR^+$, quindi $log(-x) in RR$

Pertanto il logaritmo (naturale, cioè in base $e$) di un numero reale negativo $x$ è un numero complesso,
che ha per parte reale il logaritmo di $-x$ e per parte immaginaria $pi$


Detto ciò, in realtà vale molto di più: si può effettuare il logaritmo anche a un numero complesso
(anche se non era la tua richiesta)

[Mattia B1]

Grazie mille a tutti.

Non avevo pensato all'identità di Eulero.

E dunque adesso smette di essere iniettiva ? Visto che non è più vero che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio:

$ ln(-1) = pi i $

ma è anche uguale a

$ ln(-1) = 3 pi i $

o più in generale a

$ ln(-1) = (2n + 1) pi i $ con $n in NN $

Oppure mi sbagio ancora ?