Funzioni iniettive
A lezione abbiamo fatto vedere che, data una funzione $f: X -> Y$, $f$ è iniettiva $<=>$ $AA A sube X$, $f^-1(f(A)) = A$. Vorrei analizzare questa implicazione: =>
$ A sube f^-1(f(A))$ vale sempre, io però ho un dubbio sull'altra inclusione. Si vuole dimostrare che $f^-1(f(A)) sube A$. Preso $x in f^-1(f(A)) => f(x) in f(A), EE a in A$ tale che $f(x) = f(a) =>$[nota]per l'iniettività della funzione[/nota] $x = a => x in A$.
Siccome senza esempi trovo tutto fin troppo astratto, ho considerato questa funzione: $f: RR -> RR$, $f(x) = x^2$. Definisco $A = [-5,5]$. Chiaramente $f(A) = [0,25]$, e $f^-1(f(A)) = {x in RR | f(x) in [0,25]} = [-5,0]$ (o, equivalentemente, $f^-1(f(A))= [0,5]$[nota]Descrivere $f^-1(f(A))$ in questo caso è ambiguo, come si deve procedere?[/nota].
Ho preso $f(x) = x^2$ perché non è iniettiva, e volevo vedere per questa funzione dove la dimostrazione fallisse, per questo vorrei chiedervi alcuni chiarimenti. Prendo ad esempio $-3 in f^-1(f(A))= [-5,0]$, $f(-3) = 9 in [0,25]$. In questo caso esistono $a_1=3, a_2 = -3$, $a_1,a_2 in A$ tali che $f(-3) = f(a_1) = f(a_2)$.
Quindi, in questo caso, l'inghippo sarebbe che io prendo $a in A$, non in $f^-1(f(A))$, perché se prendessi $a in f^-1(f(A))$ sarebbe ovvio che $x=a$.
Vorrei chiedervi sia se quest'ultimo passaggio è corretto, sia se la mia definizione di $f^-1(f(A))$, in questo esempio, è giusta.
$ A sube f^-1(f(A))$ vale sempre, io però ho un dubbio sull'altra inclusione. Si vuole dimostrare che $f^-1(f(A)) sube A$. Preso $x in f^-1(f(A)) => f(x) in f(A), EE a in A$ tale che $f(x) = f(a) =>$[nota]per l'iniettività della funzione[/nota] $x = a => x in A$.
Siccome senza esempi trovo tutto fin troppo astratto, ho considerato questa funzione: $f: RR -> RR$, $f(x) = x^2$. Definisco $A = [-5,5]$. Chiaramente $f(A) = [0,25]$, e $f^-1(f(A)) = {x in RR | f(x) in [0,25]} = [-5,0]$ (o, equivalentemente, $f^-1(f(A))= [0,5]$[nota]Descrivere $f^-1(f(A))$ in questo caso è ambiguo, come si deve procedere?[/nota].
Ho preso $f(x) = x^2$ perché non è iniettiva, e volevo vedere per questa funzione dove la dimostrazione fallisse, per questo vorrei chiedervi alcuni chiarimenti. Prendo ad esempio $-3 in f^-1(f(A))= [-5,0]$, $f(-3) = 9 in [0,25]$. In questo caso esistono $a_1=3, a_2 = -3$, $a_1,a_2 in A$ tali che $f(-3) = f(a_1) = f(a_2)$.
Quindi, in questo caso, l'inghippo sarebbe che io prendo $a in A$, non in $f^-1(f(A))$, perché se prendessi $a in f^-1(f(A))$ sarebbe ovvio che $x=a$.
Vorrei chiedervi sia se quest'ultimo passaggio è corretto, sia se la mia definizione di $f^-1(f(A))$, in questo esempio, è giusta.
Risposte
Ora che ci penso, nel mio esempio $f^-1(f(A))$ mi sembra uguale ad $A$, proprio per come è definito $f^-1(f(A))$: riferendomi all'esempio, $f^-1(f(A))$ è l'insieme degli $x in RR$ tali che la loro immagine sta in $f(A) = [0,25]$. Gli $x in [0,5]$ hanno come immagine delle $f(x) in f(A)$, quindi devo prendere pure loro e allora $f^-1(f(A)) = A$ (sempre relativamente all'esempio).
E allora ho scelto l'esempio sbagliato, ed in effetti la proposizione mi dice che l'uguaglianza tra $A$ e $f^-1f(A))$, con $A sube RR$ deve valere per ogni sottoinsieme di $RR$ che possa prendere. Se prendo $A = [0,5]$ già $f^-1(f(A)) = [-5,5]$ ed ho così trovato il controesempio.
E allora ho scelto l'esempio sbagliato, ed in effetti la proposizione mi dice che l'uguaglianza tra $A$ e $f^-1f(A))$, con $A sube RR$ deve valere per ogni sottoinsieme di $RR$ che possa prendere. Se prendo $A = [0,5]$ già $f^-1(f(A)) = [-5,5]$ ed ho così trovato il controesempio.
"HowardRoark":
Se prendo $A = [0,5]$ già $f^-1(f(A)) = [-5,5]$ ed ho così trovato il controesempio.
Si', corretto.
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