Funzioni in matematica discreta
Salve a tutti, ho dei problemi a risolvere degli esercizi sulle funzioni.
Nel primo esercizio vorrei capire per bene, come posso fare in un'esercizio così a stabilire che funzione è?
Questo, ho provato a risolverlo da solo ma l'unica cosa che sono riuscito a fare è creare delle combinazioni in cui, per esempio
f(n)=3n ===> f(1)=3 e così via con i numeri da 1 a 10....però non sono riuscito a capire di che funzione si tratta?
Nel secondo...IDEM però con le bigettive??
In questo, stesso problema del primo....per cui non ho neank iniziato a farlo! Non sapendo come muovermi
In sintesi, non voglio la risoluzione dell'esercizio ma capire la tecnica da usare con tutti gli altri di modo che non abbia più difficoltà, quando incontro esercizi del genere.
N.B: nell'immagine vedete solo gli esercizi 3 e 5.....NON considerate il 4
Nel primo esercizio vorrei capire per bene, come posso fare in un'esercizio così a stabilire che funzione è?
Questo, ho provato a risolverlo da solo ma l'unica cosa che sono riuscito a fare è creare delle combinazioni in cui, per esempio
f(n)=3n ===> f(1)=3 e così via con i numeri da 1 a 10....però non sono riuscito a capire di che funzione si tratta?
Nel secondo...IDEM però con le bigettive??
In questo, stesso problema del primo....per cui non ho neank iniziato a farlo! Non sapendo come muovermi
In sintesi, non voglio la risoluzione dell'esercizio ma capire la tecnica da usare con tutti gli altri di modo che non abbia più difficoltà, quando incontro esercizi del genere.
N.B: nell'immagine vedete solo gli esercizi 3 e 5.....NON considerate il 4
Risposte
Ciao.
Premetto che, ovviamente, prima di tutto bisogna aver ben chiari i concetti dal punto di vista teorico.
Punti da chiarire:
1) definizione di funzione;
2) composizione tra funzioni (non per l'esempio sotto riportato);
3) concetto di iniettività, suriettività e biiettività (equivalenti, rispettivamente, a ingettività, surgettività e bigettività) delle funzioni.
Ad ogni modo, dando per scontata l'acquisizione delle nozioni sopra citate (in caso contrario, prima di tutto andrebbero trattate), vediamo almeno un esempio.
Esercizio 3, punto a.
$f_1:NN rightarrow NN$, con $f_1(n)=3n$
La funzione è ben definita?
Si deve verificare che ad ogni elemento del dominio ne corrisponde un unico del codominio.
Procedimento.
1) La funzione è definita per tutti i valori $n in NN$?
Affermativo: infatti l'espressione $3n$, di per sè, esiste per tutti i valori $n in NN$.
2) Risulta vero il fatto che $f_1(n)=3n$ appartenga al codominio per tutti i valori $n in NN$?
Affermativo: il triplo di un numero naturale è sicuramente un numero naturale.
3) Potrebbe capitare che ad un fissato elemento $n$ del dominio ne corrispondano almeno due in $NN$ del tipo $m_1!=m_2$ (quindi diversi tra loro) tale che $f_1(n)=m_1$ e, contemporaneamente, $f_1(n)=m_2$?
Negativo: un numero naturale non può ammettere due tripli differenti tra loro.
Iniettività (o ingettività) della funzione.
Una funzione è iniettiva se, prendendo arbitrariamente due elementi (differenti tra loro) del dominio, le rispettive immagini risultano essere differenti tra loro.
In questo esempio ciò si verifica, poichè è impossibile che il triplo di un numero naturale sia, contemporaneamente, il triplo di un altro numero naturale.
Suriettività (o surgettività) della funzione.
Una funzione è suriettiva se, per ogni elemento del codominio, ne esiste un altro del dominio la cui immagine sia proprio l'elemento stesso del codominio.
In questo caso, prendendo, nel codominio, il numero naturale $1$, ci si rende conto che non esiste alcun numero naturale tale che il suo triplo coincida con $1$, quindi ne consegue che questa funzione non è suriettiva.
Biiettività (o bigettività) della funzione.
Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
La funzione dell'esempio non è biiettiva perchè non è suriettiva.
Spero di essere stato chiaro e/o utile.
Saluti.
Premetto che, ovviamente, prima di tutto bisogna aver ben chiari i concetti dal punto di vista teorico.
Punti da chiarire:
1) definizione di funzione;
2) composizione tra funzioni (non per l'esempio sotto riportato);
3) concetto di iniettività, suriettività e biiettività (equivalenti, rispettivamente, a ingettività, surgettività e bigettività) delle funzioni.
Ad ogni modo, dando per scontata l'acquisizione delle nozioni sopra citate (in caso contrario, prima di tutto andrebbero trattate), vediamo almeno un esempio.
Esercizio 3, punto a.
$f_1:NN rightarrow NN$, con $f_1(n)=3n$
La funzione è ben definita?
Si deve verificare che ad ogni elemento del dominio ne corrisponde un unico del codominio.
Procedimento.
1) La funzione è definita per tutti i valori $n in NN$?
Affermativo: infatti l'espressione $3n$, di per sè, esiste per tutti i valori $n in NN$.
2) Risulta vero il fatto che $f_1(n)=3n$ appartenga al codominio per tutti i valori $n in NN$?
Affermativo: il triplo di un numero naturale è sicuramente un numero naturale.
3) Potrebbe capitare che ad un fissato elemento $n$ del dominio ne corrispondano almeno due in $NN$ del tipo $m_1!=m_2$ (quindi diversi tra loro) tale che $f_1(n)=m_1$ e, contemporaneamente, $f_1(n)=m_2$?
Negativo: un numero naturale non può ammettere due tripli differenti tra loro.
Iniettività (o ingettività) della funzione.
Una funzione è iniettiva se, prendendo arbitrariamente due elementi (differenti tra loro) del dominio, le rispettive immagini risultano essere differenti tra loro.
In questo esempio ciò si verifica, poichè è impossibile che il triplo di un numero naturale sia, contemporaneamente, il triplo di un altro numero naturale.
Suriettività (o surgettività) della funzione.
Una funzione è suriettiva se, per ogni elemento del codominio, ne esiste un altro del dominio la cui immagine sia proprio l'elemento stesso del codominio.
In questo caso, prendendo, nel codominio, il numero naturale $1$, ci si rende conto che non esiste alcun numero naturale tale che il suo triplo coincida con $1$, quindi ne consegue che questa funzione non è suriettiva.
Biiettività (o bigettività) della funzione.
Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
La funzione dell'esempio non è biiettiva perchè non è suriettiva.
Spero di essere stato chiaro e/o utile.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo