Funzioni e sottoinsiemi

[chess71]

Siano X e Y insiemi finiti e non vuoti.
Sia F il numero delle funzioni da X a Y, e S il numero di sottoinsiemi di X.

Per quale condizione si verifica che S=F ?


Nota: conosco la soluzione del quesito ma non l'ho capita

[G.D.5]

Giacché la conosci, cosa di preciso non hai capito della soluzione in oggetto?
Fai una cosa: postala e scrivici "Qui non l'ho capito", "Questo passaggio non lo seguo bene"...

[chess71]

La soluzione è F=S se e solo se Y ha 2 elementi.

Provo a verificare la soluzione per i casi piu' semplici:

Supponiamo che X sia formato solo da un elemento; in questo caso il numero delle possibili funzioni da X a Y è 1, e quindi S=F

Supponiamo X sia formato da 2 elementi --> il numero dei possibili sottoinsiemi di X è 3, e il numero delle possibili funzioni da X a Y, ipotizzando che Y ha 2 elementi, è anche 3.

Supponiamo X sia formato da 3 elementi e Y 2 elementi --> S=7, e F=7

il problema è che non riesco a visualizzare la soluzione
senza il risultato non ci sarei mai arrivato

[G.D.5]

Molto semplicemente: dato un insieme \(X\) di cardinalità finita \(m\), il suo insieme delle parti \(\mathcal{P}(X)\) ha cardinalità \(2^{m}\); dato l'insieme \(Y\) di cardinalità \(n\), l'insieme delle applicazioni di \(X\) in \(Y\) ha cardinalità \(n^{m}\). Si vuole che sia \(n^{m}=2^{m}\) da cui banalmente \(n=2\).

[chess71]

grazie

[G.D.5]

Prego.