Funzione inversa di destra, sinistra di una funzione
Buon pomeriggio, avrei bisogno di un aiuto con questa serie di quesiti (chiedo di capire solo come fare per poi arrangiarmi!)
Si studino le proprietà di iniettività suriettività eventuali inverse destre e sinistre per le seguenti funzioni da C a C:
i) f(z)=iz^2+1
ii)f(z)=(z-2i)^2
iii)f(z)=z-zbar
iv)f(z)=|z|/z se z diverso da 0, f(0)=0
v)f(z)=z/zbar se z diverso da 0, f(0)=1
per ogni w di C si determini la controimmagine delle funzioni date
ovviamente so che se la funzione è 1-1 ammette inversa sinistra (e viceversa), idem se è su ammette inversa destra (e viceversa). inoltre so che se un'inversa destra di una funzione f:X->Y è una funzione f':Y->X tale che f*f'=IdY, sinistra è 'f:Y->X tale che 'f*f=IdX (purtroppo però nel DeMarco non ho capito bene la dimostrazione
)
per favore potete spiegarmi anche a priori, escluso questo caso particolare in cui il campo considerato è C?
grazie mille
Si studino le proprietà di iniettività suriettività eventuali inverse destre e sinistre per le seguenti funzioni da C a C:
i) f(z)=iz^2+1
ii)f(z)=(z-2i)^2
iii)f(z)=z-zbar
iv)f(z)=|z|/z se z diverso da 0, f(0)=0
v)f(z)=z/zbar se z diverso da 0, f(0)=1
per ogni w di C si determini la controimmagine delle funzioni date
ovviamente so che se la funzione è 1-1 ammette inversa sinistra (e viceversa), idem se è su ammette inversa destra (e viceversa). inoltre so che se un'inversa destra di una funzione f:X->Y è una funzione f':Y->X tale che f*f'=IdY, sinistra è 'f:Y->X tale che 'f*f=IdX (purtroppo però nel DeMarco non ho capito bene la dimostrazione
)per favore potete spiegarmi anche a priori, escluso questo caso particolare in cui il campo considerato è C?
grazie mille
Risposte
Provo a darti una spiegazione (incompleta, sta a te sistemare i dettagli che mancano), senza garantire nulla.
Sia \(f: A \to B\) una funzione. Sia \(S\) un sottoinsieme di \(A\), allora definiamo \(f(S) = \{b \in B . \exists s \in S . b = f(s)\}\) l'insieme delle immagini di \(A\) sotto \(f\).
Sia invece \(T\) un sottoinsieme di \(B\), allora definiamo \(f^{-1}(T) = \{a \in A . \exists t \in T . f(a) = t\}\).
In particolare se \(T\) è un singoletto(aka. un insieme del tipo \(\{y\}\) allora scriviamo \(f^{-1}(y) = \{a \in A . f(a) = y\}\), e chiamiamo tale insieme la "fibra di \(y\)".
Ora, la fibra di ogni elemento può contenere uno, nessuno, centomila elementi.
Esempio:
Sia \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}\) definita come \(x \mapsto x^2\), allora \(f^{-1}(1) = \{-1, 1\}\), \(f^{-1}(4) = \{-2, 2\}\), in generale \(f^{-1}(n^2) = \{-n, n\}\).
Nota a questo punto che \(f(f^{-1}(y)) = y\) (ovviamente segue dalla definizione di fibra, dammela alla buona perché per essere pignoli dovrebbe essere \(\{y\}\)).
Nota a questo punto che \(f^{-1}(f(x)) = \{a \in A . f(a) = f(x)\}\), tutti gli elementi del dominio che vengono mappati nello stesso elemento in cui viene mappato \(x\).
Una funzione è suriettiva se e soltanto se per ogni elemento del codominio esiste un elemento del dominio che viene mappato in esso, aka. la fibra di ogni elemento del codominio è non-vuota.
Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio viene mappato in alpiù un elemento del dominio, aka. se la fibra di ogni elemento del codominio contiene al più un elemento.
Ora, torniamo alla nostra funzione \(f(x) = x^2\). Sappiamo dalla teoria che è suriettiva. Questo ci viene confermato dal fatto che \(f^{-1}(y) = \{-\sqrt{y}, \sqrt{y}\}\). Ora possiamo "operare una scelta", e decidere di prendere come controimmagine di \(y^2\) solo \(y\). Quindi possiamo definire una funzione \(g: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}\) come \(y \to \sqrt{y}\).
Nota ora che \(\forall y \in \mathbb{R}^+ . (f \circ g)(y) = (\sqrt{y})^2 = | y | = y\), ovvero abbiamo che \(f \circ g = id_{\mathbb{R}^+}\), aka. \(g\) è una funzione destro-inversa (anche nota come "sezione") di \(f\).
Prendiamo ora una funzione iniettiva non suriettiva, come la funzione \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) definita come \(n \mapsto n + 1\). Ovviamente non ha una funzione inversa. La fibra è \(\displaystyle f^{-1}(y) = \begin{cases}\{\} &\mbox{se } y = 0 \\ \{n - 1\} &\mbox{altrimenti} \end{cases}\).
Ora puoi definire una funzione \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) come \(g(n) = \begin{cases} s & \mbox{se } n = 0 \\ n - 1 & \mbox{altrimenti} \end{cases}\) dove \(s\) è un qualsiasi numero(\(0\), \(10\), un fantastiliardo).
Magicamente avrai che \((g \circ f)(n) = g(n + 1) = n\) (sai che l'entrata di \(g\) è diversa da \(0\)), quindi \(g \circ f = id_{\mathbb{N}}\), ovvero \(g\) è la sinistro-inversa di \(f\).
Quindi, quando hai una funzione suriettiva devi solo operare un'operazione di scelta tra le immagini, mentre quando hai una funzione iniettiva devi solo decidere un valore in cui mandare tutti gli elementi del codominio che non hanno controimmagine.
Prendo uno degli esercizi che hai postato(uno semplice) per farti un ultimo esempio:
iii) \(f(z) = z - \overline{z}\).
Riscriviamola come \(f((x, y)) = x + y - x + y = 2y\) (dove stiamo considerando il solito isomorfismo \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\)).
Trovi facilmente che \(\displaystyle f^{-1}(t) = \left\{\left(x, \frac{t}{2}\right) . x \in \mathbb{R}\right\}\). La funzione è suriettiva. Ha una sezione. Dobbiamo scegliere. Scegliamo \(\displaystyle g(t) = \left(0, \frac{t}{2}\right)\).
Controlliamo: \(\displaystyle (f \circ g)(t) = f\left(\left(0, \frac{t}{2}\right)\right) = t\), fine.
Se non hai capito nulla è perché non sono un professore. Se hai capito prova a fare gli altri come quest'ultimo(non sempre conviene passare alle coordinate cartesiane, a volte conviene con le polari o "barbatrucchi" diversi).
Sia \(f: A \to B\) una funzione. Sia \(S\) un sottoinsieme di \(A\), allora definiamo \(f(S) = \{b \in B . \exists s \in S . b = f(s)\}\) l'insieme delle immagini di \(A\) sotto \(f\).
Sia invece \(T\) un sottoinsieme di \(B\), allora definiamo \(f^{-1}(T) = \{a \in A . \exists t \in T . f(a) = t\}\).
In particolare se \(T\) è un singoletto(aka. un insieme del tipo \(\{y\}\) allora scriviamo \(f^{-1}(y) = \{a \in A . f(a) = y\}\), e chiamiamo tale insieme la "fibra di \(y\)".
Ora, la fibra di ogni elemento può contenere uno, nessuno, centomila elementi.
Esempio:
Sia \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}\) definita come \(x \mapsto x^2\), allora \(f^{-1}(1) = \{-1, 1\}\), \(f^{-1}(4) = \{-2, 2\}\), in generale \(f^{-1}(n^2) = \{-n, n\}\).
Nota a questo punto che \(f(f^{-1}(y)) = y\) (ovviamente segue dalla definizione di fibra, dammela alla buona perché per essere pignoli dovrebbe essere \(\{y\}\)).
Nota a questo punto che \(f^{-1}(f(x)) = \{a \in A . f(a) = f(x)\}\), tutti gli elementi del dominio che vengono mappati nello stesso elemento in cui viene mappato \(x\).
Una funzione è suriettiva se e soltanto se per ogni elemento del codominio esiste un elemento del dominio che viene mappato in esso, aka. la fibra di ogni elemento del codominio è non-vuota.
Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio viene mappato in alpiù un elemento del dominio, aka. se la fibra di ogni elemento del codominio contiene al più un elemento.
Ora, torniamo alla nostra funzione \(f(x) = x^2\). Sappiamo dalla teoria che è suriettiva. Questo ci viene confermato dal fatto che \(f^{-1}(y) = \{-\sqrt{y}, \sqrt{y}\}\). Ora possiamo "operare una scelta", e decidere di prendere come controimmagine di \(y^2\) solo \(y\). Quindi possiamo definire una funzione \(g: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}\) come \(y \to \sqrt{y}\).
Nota ora che \(\forall y \in \mathbb{R}^+ . (f \circ g)(y) = (\sqrt{y})^2 = | y | = y\), ovvero abbiamo che \(f \circ g = id_{\mathbb{R}^+}\), aka. \(g\) è una funzione destro-inversa (anche nota come "sezione") di \(f\).
Prendiamo ora una funzione iniettiva non suriettiva, come la funzione \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) definita come \(n \mapsto n + 1\). Ovviamente non ha una funzione inversa. La fibra è \(\displaystyle f^{-1}(y) = \begin{cases}\{\} &\mbox{se } y = 0 \\ \{n - 1\} &\mbox{altrimenti} \end{cases}\).
Ora puoi definire una funzione \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) come \(g(n) = \begin{cases} s & \mbox{se } n = 0 \\ n - 1 & \mbox{altrimenti} \end{cases}\) dove \(s\) è un qualsiasi numero(\(0\), \(10\), un fantastiliardo).
Magicamente avrai che \((g \circ f)(n) = g(n + 1) = n\) (sai che l'entrata di \(g\) è diversa da \(0\)), quindi \(g \circ f = id_{\mathbb{N}}\), ovvero \(g\) è la sinistro-inversa di \(f\).
Quindi, quando hai una funzione suriettiva devi solo operare un'operazione di scelta tra le immagini, mentre quando hai una funzione iniettiva devi solo decidere un valore in cui mandare tutti gli elementi del codominio che non hanno controimmagine.
Prendo uno degli esercizi che hai postato(uno semplice) per farti un ultimo esempio:
iii) \(f(z) = z - \overline{z}\).
Riscriviamola come \(f((x, y)) = x + y - x + y = 2y\) (dove stiamo considerando il solito isomorfismo \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\)).
Trovi facilmente che \(\displaystyle f^{-1}(t) = \left\{\left(x, \frac{t}{2}\right) . x \in \mathbb{R}\right\}\). La funzione è suriettiva. Ha una sezione. Dobbiamo scegliere. Scegliamo \(\displaystyle g(t) = \left(0, \frac{t}{2}\right)\).
Controlliamo: \(\displaystyle (f \circ g)(t) = f\left(\left(0, \frac{t}{2}\right)\right) = t\), fine.
Se non hai capito nulla è perché non sono un professore. Se hai capito prova a fare gli altri come quest'ultimo(non sempre conviene passare alle coordinate cartesiane, a volte conviene con le polari o "barbatrucchi" diversi).
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