Funzione insiemi vuoti
Ho alcuni dubbi sul perché la funzione
1) definita dal vuoto a B qualsiasi esista
2) definita da A a B=∅, esiste solo se A vuoto
Dalla definizione di funzione avrei: per ogni a in A esiste unico b in B t.c (a,b) sta in f (con f relazione)
1) Ora analizzando il primo caso il prof dice che se A è vuoto allora poiché A×B=∅, f deve essere l'insieme vuoto e non ci dà problemi poché è verificata.
Non capisco il perche di tale affermazione, devo forse intendere la definizione di funzione come una implicazione?, in effetti scrivendo così mi pare tornare poiché l'antecedente è sempre falso:
$∀a(a in A => ∃!b in B t.c (a,b) in f)$?
Però non mi torna, cioè quando ho "per ogni, esiste" è fa intendere come "per ogni => esiste"
non mi paiono proprio asserti logicamente equivalenti
2) Domanda simile: mi sembra anche qui che rileggendola come implicazione funzioni, infatti essendo "esiste b in B sempre falso"(poiché B vuoto) se scelgo A vuoto allora diventa falso che "per ogni a in A" quindi antecedente falso, definizione sempre vera qualunque conseguente.
Ho grandi dubbi, vi ringrazio per la mano e le spiegazioni!
Corretto typo.
1) definita dal vuoto a B qualsiasi esista
2) definita da A a B=∅, esiste solo se A vuoto
Dalla definizione di funzione avrei: per ogni a in A esiste unico b in B t.c (a,b) sta in f (con f relazione)
1) Ora analizzando il primo caso il prof dice che se A è vuoto allora poiché A×B=∅, f deve essere l'insieme vuoto e non ci dà problemi poché è verificata.
Non capisco il perche di tale affermazione, devo forse intendere la definizione di funzione come una implicazione?, in effetti scrivendo così mi pare tornare poiché l'antecedente è sempre falso:
$∀a(a in A => ∃!b in B t.c (a,b) in f)$?
Però non mi torna, cioè quando ho "per ogni, esiste" è fa intendere come "per ogni => esiste"
non mi paiono proprio asserti logicamente equivalenti
2) Domanda simile: mi sembra anche qui che rileggendola come implicazione funzioni, infatti essendo "esiste b in B sempre falso"(poiché B vuoto) se scelgo A vuoto allora diventa falso che "per ogni a in A" quindi antecedente falso, definizione sempre vera qualunque conseguente.
Ho grandi dubbi, vi ringrazio per la mano e le spiegazioni!
Corretto typo.
Risposte
Le funzioni sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano del dominio per il codominio che soddisfa proprio quella proposizione. Quindi tu devi prendere un sottoinsieme di quel prodotto (ad esempio quello vuoto) e vedere se la soddisfa, prova con l'insieme vuoto appunto.
Sì certo esatto, ma in realtà è quello volevo dire. Forse mi sono spiegato male, ma il mio problema è che la definizione è: "per ogni a in A esiste unico b in B t.c (a,b) sta in f (con f relazione)", ma verificare se questa sia vera o falsa non capisco come fare (perché cosa è una implicazione? sono collegare da un "and" il per ogni ed esiste? Non capisco.
Quello che chiedevo è quindi se dovessi rileggerla come: $∀a,(a∈A⇒∃!b∈B t.c (a,b)∈f)$ e verificare quanto tu dici.
Ma la domanda è quindi: Però non mi torna, cioè quando ho "per ogni, esiste" è fa intendere come "per ogni => esiste" non mi paiono proprio asserti logicamente equivalenti
Grazie ancora.
Quello che chiedevo è quindi se dovessi rileggerla come: $∀a,(a∈A⇒∃!b∈B t.c (a,b)∈f)$ e verificare quanto tu dici.
Ma la domanda è quindi: Però non mi torna, cioè quando ho "per ogni, esiste" è fa intendere come "per ogni => esiste" non mi paiono proprio asserti logicamente equivalenti
Grazie ancora.
Si, sono equivalenti, vogliono dire la stessa cosa.
Grazie per la tua risposta. Scusa se sono assillante ma volendo capire bene prima di procedere a provare quanto dicevamo sopra (nel caso specifico delle funzioni del topic) vorrei chiederti: ma in generale è sempre vera questa "conversione" di lettura:
In questo specifico caso abbiamo detto di sì, ma mi chiedo se sia sempre vero.
Come avrai capito ho molti dubbi sulla logica, il fatto è che oltre averci detto le cose base mi sembra sempre di lavorare a spanne non avendo una formazione logica ottimale in questo corso di algebra.
Ma come si fa a preparare bene questa parte della matematica?
Buona serata!
cioè quando ho "per ogni, esiste" è da intendere come "per ogni => esiste"
(non capisco se sia una cosa generale o una cosa particolare della definizione di funzione data)
In questo specifico caso abbiamo detto di sì, ma mi chiedo se sia sempre vero.
Come avrai capito ho molti dubbi sulla logica, il fatto è che oltre averci detto le cose base mi sembra sempre di lavorare a spanne non avendo una formazione logica ottimale in questo corso di algebra.
Ma come si fa a preparare bene questa parte della matematica?
Buona serata!
Non è che "per ogni, esiste" sia da intendere come "per ogni => esiste".
È che se \(\varphi(x)\) è una proprietà/formula di \(x\) e \(\psi\) è un'altra proprietà/formula di \(x\) e di qualche altra eventuale variabile, allora \(\forall x, \varphi(x) \to \psi\) è lo stesso che \(\forall \varphi(x), \psi\).
Esempio: \(\forall x, x \ge 2 \to x^2 \ge 4\) è lo stesso che \(\forall x \ge 2, x^2 \ge 4\).
Nel tuo caso \(\varphi(x)\) è l'appartenenza di \(x\) al dominio \(A\) dell'applicazione, i.e. \(x \in A\), mentre \(\psi\) è \(\exists ! y \in T : (x,y) \in f\).
Da notare che \(\exists ! y \in T : (x,y) \in f\) presenta un'altra forma contratta che è simile a quella del quantificatore universale: tale formula è lo stesso che \(\exists ! y : y \in T \land (x,y) \in f\).
Ovvero, in definitiva: il quantificatore universale "assorbe" l'antecedente di un costrutto condizionale, mentre il quantificatore esistenziale "assorbe" uno dei due termini di una congiunzione. In generale questi assorbimenti sono utilizzati quando \(\varphi(\cdot)\) (dove \(\cdot\) è da sostituire con la variabile quantificata) è un'appartenenza.
È che se \(\varphi(x)\) è una proprietà/formula di \(x\) e \(\psi\) è un'altra proprietà/formula di \(x\) e di qualche altra eventuale variabile, allora \(\forall x, \varphi(x) \to \psi\) è lo stesso che \(\forall \varphi(x), \psi\).
Esempio: \(\forall x, x \ge 2 \to x^2 \ge 4\) è lo stesso che \(\forall x \ge 2, x^2 \ge 4\).
Nel tuo caso \(\varphi(x)\) è l'appartenenza di \(x\) al dominio \(A\) dell'applicazione, i.e. \(x \in A\), mentre \(\psi\) è \(\exists ! y \in T : (x,y) \in f\).
Da notare che \(\exists ! y \in T : (x,y) \in f\) presenta un'altra forma contratta che è simile a quella del quantificatore universale: tale formula è lo stesso che \(\exists ! y : y \in T \land (x,y) \in f\).
Ovvero, in definitiva: il quantificatore universale "assorbe" l'antecedente di un costrutto condizionale, mentre il quantificatore esistenziale "assorbe" uno dei due termini di una congiunzione. In generale questi assorbimenti sono utilizzati quando \(\varphi(\cdot)\) (dove \(\cdot\) è da sostituire con la variabile quantificata) è un'appartenenza.
Grazie molte per la chiarezza e anche per l'approfondimento su esiste, perché è una domanda che avrei fatto subito dopo avendo letto del per ogni. Non ne avevo mai letto a riguardo onestamente e ho appreso una cosa del tutto nuova. Non capisco perché non creare subito una ottima base logica, aiuterebbe un sacco su dubbi di questo tipo, mentre di solito in ogni libro di algebra visto trovo due cose in croce.
Vorrei ora, forte delle spiegazioni, tornare al caso specifico
Caso 1) A vuoto. Ho in effetti che per ogni a in A è falsa poiché NON ho a in A essendo vuoto, quindi antecedente falso segue qualunque cosa: vera, le funzioni dal vuoto possono avere B qualunque.
Caso 2)B vuoto. Ho come conseguente: $b in B$ e $(a,b) in f$, tuttavia essendo per definizione di prodotto cartesiano che $AxB=∅$ e B vuoto per Hp, allora il conseguente è tutto falso. Questo implica che l'antecedente DEVE essere falso, solo così avrei l'intera proposizione (**) vera: fe funzioni nel vuoto richiedono dominio vuoto.
Giusto? Grazie a tutti e buona continuazione.
Vorrei ora, forte delle spiegazioni, tornare al caso specifico
1) definita dal vuoto a B qualsiasi esista
2) definita da A a B=∅, esiste solo se A vuoto
$∀a,a∈A->∃!b∈B and (a,b)∈f⊆AxB$ (**)
Caso 1) A vuoto. Ho in effetti che per ogni a in A è falsa poiché NON ho a in A essendo vuoto, quindi antecedente falso segue qualunque cosa: vera, le funzioni dal vuoto possono avere B qualunque.
Caso 2)B vuoto. Ho come conseguente: $b in B$ e $(a,b) in f$, tuttavia essendo per definizione di prodotto cartesiano che $AxB=∅$ e B vuoto per Hp, allora il conseguente è tutto falso. Questo implica che l'antecedente DEVE essere falso, solo così avrei l'intera proposizione (**) vera: fe funzioni nel vuoto richiedono dominio vuoto.
Giusto? Grazie a tutti e buona continuazione.
Corretto.
Grazie mille
Prego.
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