Funzione iniettiva suriettiva e biettiva.......chiarimento
Salve a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento.
Avendo delle funzioni piuttosto elementari (radice di x alla seconda meno quattro, uno fratto x, radice di x, e simili....)
come faccio a stabilire se sono iniettive suriettive o biiettive?
io so la definizione che dice che una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio e che è suriettiva se ImF è tutto il codominio.
a parte funzioni molto facili e deducibili ad occhio (come ad esempio X alla seconda è banale che non è iniettiva perchè presi due opposti ad esempio naturali corrisponde lo stesso elemento nel dominio) qual'è il procedimento "tecnico" da utilizzare?
so anche che una volta disegnato il grafico posso usare la regola delle rette che intersecano il grafico per determinare la non iniettività o la non suriettività, ma mi chiedevo se si potesse fare diversamente, magari risolvendo semplici equazioni.
vi ringrazio in anticipo per il tempo che vorrete dedicarmi
saluti
marco
avrei bisogno di un chiarimento.
Avendo delle funzioni piuttosto elementari (radice di x alla seconda meno quattro, uno fratto x, radice di x, e simili....)
come faccio a stabilire se sono iniettive suriettive o biiettive?
io so la definizione che dice che una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio e che è suriettiva se ImF è tutto il codominio.
a parte funzioni molto facili e deducibili ad occhio (come ad esempio X alla seconda è banale che non è iniettiva perchè presi due opposti ad esempio naturali corrisponde lo stesso elemento nel dominio) qual'è il procedimento "tecnico" da utilizzare?
so anche che una volta disegnato il grafico posso usare la regola delle rette che intersecano il grafico per determinare la non iniettività o la non suriettività, ma mi chiedevo se si potesse fare diversamente, magari risolvendo semplici equazioni.
vi ringrazio in anticipo per il tempo che vorrete dedicarmi
saluti
marco
Risposte
per vedere che è iniettiva devi semplicemente "svolgere i calcoli" usando la definizione ($x_1=x_2=>f(x_1)=f(x_2)$) inoltre se determini l'immagine della funzione (massimi e minimi assoluti) riesci a vedere in quale insieme è suriettiva.
Ricorda se $f:X->f(X)\subY$ è la funzione ristretta alla sua immagine, allora se è iniettiva è anche bijettiva nella sua immagine.
Ricorda se $f:X->f(X)\subY$ è la funzione ristretta alla sua immagine, allora se è iniettiva è anche bijettiva nella sua immagine.
grazie mille per la risposta...
però scusa se applico la definizione x1=x2 implica f(x1)=f(x2) e svolgo i calcoli come hai detto tu, dovrei fare caso per caso, perchè la definizione dice per ogni x, ma ciò risulterebbe impossibile....
inoltre puoi gentilmente ricordarmi come faccio a trovare l'intervallo di imF? (quello del dominio lo trovo senza problemi risolvendo l'equazione e trovando i valori per la quale non è definita, ma per quanto riguarda gli intervalli dell'immagine di f ho qualche dubbio..)
grazie
marco
però scusa se applico la definizione x1=x2 implica f(x1)=f(x2) e svolgo i calcoli come hai detto tu, dovrei fare caso per caso, perchè la definizione dice per ogni x, ma ciò risulterebbe impossibile....
inoltre puoi gentilmente ricordarmi come faccio a trovare l'intervallo di imF? (quello del dominio lo trovo senza problemi risolvendo l'equazione e trovando i valori per la quale non è definita, ma per quanto riguarda gli intervalli dell'immagine di f ho qualche dubbio..)
grazie
marco
"fu^2":
... usando la definizione ($x_1=x_2=>f(x_1)=f(x_2)$)...
Ma questa non è la definizione di funzione?
La definizione di iniettività non dovrebbe essere $x_1 != x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$ oppure, equivalentemente, $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$?
se guardi bene è la stessa cosa che ho scritto io. la definizione di inettività è:
x1 = x2 implica f(x1) = f(x2)
x1 diverso x2 implica f(x1) diverso f(x2)
marco
x1 = x2 implica f(x1) = f(x2)
x1 diverso x2 implica f(x1) diverso f(x2)
marco
"marco.surfing":
...però scusa se applico la definizione x1=x2 implica f(x1)=f(x2) e svolgo i calcoli come hai detto tu, dovrei fare caso per caso, perchè la definizione dice per ogni x, ma ciò risulterebbe impossibile...
Quì non ti ho capito.
La definizione dice $forall x_1,x_2 in X, x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$, che tradotto significa $forall x_1,x_2, x_1,x_2 in X => (x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2))$.
Detto questo non mi pare ci siano grossi problemi.
Supponi che due elementi appartengano al dominio $X$ e suppni anche che siano diversi: devi mostrare che sono diverse le immagini. Che il dominio abbia due, dieci, cento o infiniti elementi tra loro distinti non è un problema: ciò che caratterizza la definizione è la disuguaglianza tra $x_1$ e $x_2$, non quanti sono.
P.S.
Impara ad usare MathML.
"marco.surfing":
se guardi bene è la stessa cosa che ho scritto io. la definizione di inettività è:
x1 = x2 implica f(x1) = f(x2)
x1 diverso x2 implica f(x1) diverso f(x2)
marco
Sono due cose diverse.
$x_1=x_2 => f(x_1)=f(x_2)$ equivale a $f(x_1)!=f(x_2)=>x_1!=x_2$ dove quest'ultima è la mia implicazione con antecedente e conseguente scambiati di ruolo e $P=>Q$ non equivale a $Q=>P$ perché la prima è $notPvvvQ$ e la seconda è $notQvvvP$.
si mi sono confuso $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$ è la definizione di iniettività (grazie della correzione).
Quello che ho detto io è la definizione di funzione, quindi farci su i conti ti serve per sapere che la funzione è ben posta... quindi nel tuo caso non è necessario, visto che quelle che hai sono già funzioni...
mi spiace averti creato possibili casini nelle cose e grazie a Wizard per avermi corretto
Quello che ho detto io è la definizione di funzione, quindi farci su i conti ti serve per sapere che la funzione è ben posta... quindi nel tuo caso non è necessario, visto che quelle che hai sono già funzioni...
mi spiace averti creato possibili casini nelle cose e grazie a Wizard per avermi corretto
Il malinteso è nato da un probabile errore di distrazione di fu^2.
Una volta per tutte, la definizione di iniettività di una funzione $f: X->Y$ è $forall x_1,x_2 in X$ $x_1!=x_2=>f(x_1)!=f(x_2)$, od equivalentemente $forall x_1, x_2 in X$ $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$.
Ed è legittimo il dubbio di marco-surfing, e credo di aver frainteso il post di risposta di Wizard, nel quale mi è parso che Wizard sostenesse che per dimostrare l'iniettività di una funzione basti trovare due elementi distinti $x_1$ e $x_2$ e verificare che $f(x_1)!=f(x_2)$. Tale procedimento è ovviamente scorretto, basti pensare alla nota funzione non iniettiva $f(x)=x^2$: se prendo $x_1=1$ e $x_2=2$, ho che $f(x_1)!=f(x_2)$, ma non ho certo provato che la funzione è iniettiva, dato che sappiamo che non lo è! La definizione vuole che PER OGNI coppia $(x_1,x_2)$ valga $x_1!=x_2=>f(x_1)!=f(x_2)$, quindi non basta certo un solo caso per dimostrare l'iniettività. Basta però per dimostrare la NON iniettività. Se si vuol dimostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare una singola coppia $(x_1,x_2)$ tale che $x_1!=x_2$ ma $f(x_1)=f(x_2)$, dato che in tal modo abbiamo negato la tesi, che diceva "per ogni" (la negazione di $forall x P(x)$ è $EE x$ per cui $notP(x)$ , e nel nostro caso x è una coppia $(x_1,x_2)$.). Per la funzione $f(x)=x^2$, basta prendere $+2$ e $-2$, che sono distinti, ma le loro immagini sono uguali, e si è dimostrata la non iniettività.
Per dimostrare l'iniettività serve invee un ragionamento generale. C'è l'approccio analitico, in cui uno si studia le crescenza e decrescenza della funzione, e da questo studio si deduce l'iniettività (che è più o meno l'approccio grafico), oppure ci si mette a risolvere l'equazione $f(x_1)=f(x_2)$, nell'incognita diciamo $x_1$, e si vede se la soluzione è $x_1=x_2$, oppure se ne esistono altre. Sempre nel caso di $f(x)=x^2$ faremmo così: $x_1^2=x_2^2$ ha per soluzione $x_1=+-x_2$, quindi la funzione non è iniettiva. Per dimostrare invece che $f(x)=x^3$ è iniettiva, si impone $x^3=y^3$, che ha per soluzione $x=y$, da cui la funzione è iniettiva. La cosa che dovrebbe schifare di questo ragionamento è che per dedurre $x=y$ da $x^3=y^3$ USIAMO GIA' che la funzione sia iniettiva, che è quello che invece si vorrebbe dimostrare. Diciamo che ho proposto questo metodo perchè tutti sanno intuitivamente che la soluzione di $x^3=c$ è unica, ovvero $x=c^(1/3)$, e quindi si può usare questo fatto noto per "convincersi" dell'iniettività (anche se in realtà stiamo già usando la tesi!). Insomma, queste mie parole vogliono solo essere dei consigli "pratici".
Una volta per tutte, la definizione di iniettività di una funzione $f: X->Y$ è $forall x_1,x_2 in X$ $x_1!=x_2=>f(x_1)!=f(x_2)$, od equivalentemente $forall x_1, x_2 in X$ $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$.
Ed è legittimo il dubbio di marco-surfing, e credo di aver frainteso il post di risposta di Wizard, nel quale mi è parso che Wizard sostenesse che per dimostrare l'iniettività di una funzione basti trovare due elementi distinti $x_1$ e $x_2$ e verificare che $f(x_1)!=f(x_2)$. Tale procedimento è ovviamente scorretto, basti pensare alla nota funzione non iniettiva $f(x)=x^2$: se prendo $x_1=1$ e $x_2=2$, ho che $f(x_1)!=f(x_2)$, ma non ho certo provato che la funzione è iniettiva, dato che sappiamo che non lo è! La definizione vuole che PER OGNI coppia $(x_1,x_2)$ valga $x_1!=x_2=>f(x_1)!=f(x_2)$, quindi non basta certo un solo caso per dimostrare l'iniettività. Basta però per dimostrare la NON iniettività. Se si vuol dimostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare una singola coppia $(x_1,x_2)$ tale che $x_1!=x_2$ ma $f(x_1)=f(x_2)$, dato che in tal modo abbiamo negato la tesi, che diceva "per ogni" (la negazione di $forall x P(x)$ è $EE x$ per cui $notP(x)$ , e nel nostro caso x è una coppia $(x_1,x_2)$.). Per la funzione $f(x)=x^2$, basta prendere $+2$ e $-2$, che sono distinti, ma le loro immagini sono uguali, e si è dimostrata la non iniettività.
Per dimostrare l'iniettività serve invee un ragionamento generale. C'è l'approccio analitico, in cui uno si studia le crescenza e decrescenza della funzione, e da questo studio si deduce l'iniettività (che è più o meno l'approccio grafico), oppure ci si mette a risolvere l'equazione $f(x_1)=f(x_2)$, nell'incognita diciamo $x_1$, e si vede se la soluzione è $x_1=x_2$, oppure se ne esistono altre. Sempre nel caso di $f(x)=x^2$ faremmo così: $x_1^2=x_2^2$ ha per soluzione $x_1=+-x_2$, quindi la funzione non è iniettiva. Per dimostrare invece che $f(x)=x^3$ è iniettiva, si impone $x^3=y^3$, che ha per soluzione $x=y$, da cui la funzione è iniettiva. La cosa che dovrebbe schifare di questo ragionamento è che per dedurre $x=y$ da $x^3=y^3$ USIAMO GIA' che la funzione sia iniettiva, che è quello che invece si vorrebbe dimostrare. Diciamo che ho proposto questo metodo perchè tutti sanno intuitivamente che la soluzione di $x^3=c$ è unica, ovvero $x=c^(1/3)$, e quindi si può usare questo fatto noto per "convincersi" dell'iniettività (anche se in realtà stiamo già usando la tesi!). Insomma, queste mie parole vogliono solo essere dei consigli "pratici".
grazie mille per la vostra disponibilità.
potete gentilmente chiarirmi un pò meglio come si fa a determinare l'intervallo di ImF? (gli intervalli del dominio li trovo facilemente risolvendo l'equazione del campo di esistenza e trovando i valori per i quali la funzione in oggetto non è definita; ma per l'immagine??)
grazie
marco
potete gentilmente chiarirmi un pò meglio come si fa a determinare l'intervallo di ImF? (gli intervalli del dominio li trovo facilemente risolvendo l'equazione del campo di esistenza e trovando i valori per i quali la funzione in oggetto non è definita; ma per l'immagine??)
grazie
marco
un esempio molto semplice: prendiamo la funzione $f:RR->RR$ definita come $f(x)=e^x$.
si ha che $f'(x)=e^x$ quindi f è crescente nel suo dominio ($RR$).
Inoltre è iniettiva, infatti $e^y=e^x<=>y=x$ per le proprietà delle potenze.
Infine sai che la funzione è limitata inferiormente, cioè che $"inf"(f)=0$ mentre non è limitata superiormente ($"sup"(f)=+oo$).
quindi come immagine questa funzione ha tutto $RR^+$.
Concludiamo dicendo che $f:RR->imf=RR^+$ è biunivoca.
si ha che $f'(x)=e^x$ quindi f è crescente nel suo dominio ($RR$).
Inoltre è iniettiva, infatti $e^y=e^x<=>y=x$ per le proprietà delle potenze.
Infine sai che la funzione è limitata inferiormente, cioè che $"inf"(f)=0$ mentre non è limitata superiormente ($"sup"(f)=+oo$).
quindi come immagine questa funzione ha tutto $RR^+$.
Concludiamo dicendo che $f:RR->imf=RR^+$ è biunivoca.
con simili osservazioni puoi infatti vedere che l'inversa $y=logx$ ha dominio $RR^+$ e codominio $RR$.
Chirarisco quello che intendevo quando parlavo della verifica della iniettività.
Mettiamo che sia $f:RRtoRR, \ x in RR mapsto x+1 \in RR$. Allora se $x_1!=x_2$ è anche $x_1+1!=x_2+1$ (1a legge di monotonia). $f$ è iniettiva.
Mettiamo che sia $f:RRtoRR, \ x in RR mapsto x+1 \in RR$. Allora se $x_1!=x_2$ è anche $x_1+1!=x_2+1$ (1a legge di monotonia). $f$ è iniettiva.
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