Funzione di Eulero e congruenze
Data $f:Z_n->Z_(n)$
$[x]_n->[6x+7]_(n)$ Si dica per quali valori tale funzione è iniettiva..
Il problema è che non so proprio cominciare.. ovvero,dopo averla riscritta come $6x-=-7mod(n)$ come continuo? Grazie mille!:wink:
$[x]_n->[6x+7]_(n)$ Si dica per quali valori tale funzione è iniettiva..
Il problema è che non so proprio cominciare.. ovvero,dopo averla riscritta come $6x-=-7mod(n)$ come continuo? Grazie mille!:wink:
Risposte
Una funzione è iniettiva se e solo se il nucleo è banale.. lavoraci su.
"Gaal Dornick":
Una funzione è iniettiva se e solo se il nucleo è banale.. lavoraci su.
Questo dovrebbe valere solo se $f$ fosse lineare...
"Dorian":
[quote="Gaal Dornick"]Una funzione è iniettiva se e solo se il nucleo è banale.. lavoraci su.
Questo dovrebbe valere solo se $f$ fosse lineare...[/quote]
In realtà basta che sia un omomorfismo di gruppi (anche perché parlare di linearità prevede che si stia lavorando con spazi vettoriali). In questo caso l'iniettività di $ZZ_n to ZZ_n$, $x to 6x+7$ (che non è omomorfismo) equivale all'iniettività di $ZZ_n to ZZ_n$, $x to 6x$ (che è omomorfismo), e la moltiplicazione per $6$ è iniettiva modulo $n$ se e solo se .... ... ..
se n non è multiplo di sei..giusto? O meglio,se $6non-=0modn$..
"kekko89":
se n non è multiplo di sei..giusto? O meglio,se $6non-=0modn$..
Sbagliato. Per esempio la moltiplicazione per sei non è iniettiva modulo 3 in quanto manda tutto in zero, e 3 non è multiplo di 6.
se no,prima avevo ragionato anche così.. Prendiamo $6x_1+7=6x_2+7-=0modn$ Quindi $6(x_1-x_2)-=0modn$. Quindi,affinchè sia iniettiva,n deve dividere $x_1-x_2$quindi $x_1-=x_2modn$. Da cui n non deve dividere 6..
"kekko89":
se no,prima avevo ragionato anche così.. Prendiamo $6x_1+7=6x_2+7-=0modn$ Quindi $6(x_1-x_2)-=0modn$. Quindi,affinchè sia iniettiva,n deve dividere $x_1-x_2$quindi $x_1-=x_2modn$. Da cui n non deve dividere 6..
Sono d'accordo che se la funzione "$6x+7$" è iniettiva allora $n$ non divide $6$, ma non è vero che se $n$ non divide $6$ allora la funzione data è iniettiva. Per esempio se prendi $n=9$ la funzione non è iniettiva perché per esempio $0$ e $3$ sono mandati in $7$.
A te interessa trovare la condizione che deve soddisfare $n$ affinché da $6(x_1-x_2)-=0\ modn$ si possa dedurre $x_1-x_2-=0\ modn$, per ogni $x_1,x_2$.
Posso semplificare per sei solo se MCD(6,n)=1..
"kekko89":
Posso semplificare per sei solo se MCD(6,n)=1..
Esatto.
grazie..quindi in pratica condizione sufficiente è che non sia un divisore dello zero? E per la suriettività invece,come devo fare?Grazie mille comunque!!
Posto un altro esercizio,di questo ho solo bisogno della conferma(maledetti esercizi senza soluzioni):wink:
Dimostrare che $x^27+31x^26-x^3+14x^2$ è divisibile per 45. Allora,deve essere divisibile per $5$ e per $9$. Poichè $x^4-=1mod5$ =>$x^27-=x^3$ e $31x^26-=x^2mod5$ Quindi si può riscrivere come $x^3+x^2-x^3+4x^2=5x^2-=0mod5$. Analogamente per $mod9$ è giusto? c'è una strada "più veloce" per dimostrarlo?
Dimostrare che $x^27+31x^26-x^3+14x^2$ è divisibile per 45. Allora,deve essere divisibile per $5$ e per $9$. Poichè $x^4-=1mod5$ =>$x^27-=x^3$ e $31x^26-=x^2mod5$ Quindi si può riscrivere come $x^3+x^2-x^3+4x^2=5x^2-=0mod5$. Analogamente per $mod9$ è giusto? c'è una strada "più veloce" per dimostrarlo?
"kekko89":
Poichè $x^4-=1mod5$
Usi un corollario del Piccolo Teorema di Fermat, giusto? Ma affinchè esso valga si deve supporre che $x$,$n$ siano coprimi... Cioè che $x$ non sia un multiplo di $5$...
Per l'altro caso, il ragionamento non funziona perchè $9$ non è primo (e quindi non valgono le ipotesi del teorema sopra citato...).
no,uso il fatto che $x^[phi(n)]-=1modn..
"kekko89":
no,uso il fatto che $x^[phi(n)]-=1modn..
Anche il Teorema di Eulero chiede l'ipotesi di cui sopra!
Sto solo affermando che, per dire di aver dimostrato:
$5 | x^27+31x^26-x^3+14x^2$, $AA x in ZZ$
manca il caso in cui $x$ è multiplo di $5$ (che è immediato...)-
ti seguo come ragionamento,ma nn analiticamente.. Se $x=5k$ naturalmente 5divide tutto il polinomio.. e in questo caso $5^[phi(5)]-=0mod5$ Devo scrivere questo,dici?
"kekko89":
ti seguo come ragionamento,ma nn analiticamente.. Se $x=5k$ naturalmente 5divide tutto il polinomio.. e in questo caso $5^[phi(5)]-=0mod5$ Devo scrivere questo,dici?
No. Il fatto è che il tuo ragionamento non vale se $x$ è multiplo di $5$ (il teorema di Eulero vale quando $x$ ed $n$ sono coprimi...). Ma la questione si dirime subito: se $5$ divide $x$, il numerone è banalmente (immediata verifica "manuale") multiplo di $5$... Ok?
ok perfetto!Quindi quando ho esercizi del genere devo studiare il caso in cui $M.C.D(x,n)=1$ e il caso in cui x sia un multiplo di n,giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo