Funzione

[process11]

per ogni intero positivo n, sia $X_n={x in Z : 0<=x2$ e sia $k>0$ si dimostri che la funzione

$f:X^(k)_B->X_(B^k)$ definita cosi $ (a_0, a_1,........,a_(k-1))->a_0+a_1B+....................+a_(k-1)B^(k-1)$ è una biezione.

io avevo pensato di dimostrare la suriettività e poi di usare il lemma dei cassetti, perchè al dominio abbiamo una k-upla di elementi e al codominio abbiamo 1+k-1=k elementi...
per quanto riguarda l'iniettività dovrei dimostrare che se $f( (a_0, a_1,........,a_(k-1))=f(b_0, a_1,........,b_(k-1))$ allora

$ (a_0, a_1,........,a_(k-1))=(b_0, a_1,........,b_(k-1))$ giusto?
per come è definita f, ho che $f( (a_0, a_1,........,a_(k-1))=a_0+a_1B+....................+a_(k-1)B^(k-1)$ e$f(b_0, a_1,........,b_(k-1))=b_0+b_1B+....................+b_(k-1)B^(k-1)$, quindi

$a_0+a_1B+....................+a_(k-1)B^(k-1)=b_0+b_1B+....................+b_(k-1)B^(k-1)$

ora cosa dovrei fare secondo voi...raccogliere B da ambo le parti, far vedere che un numero si scrive im modo unico in una stessa base e poi dire.."faccio questo ragionamento k volte"??????????


Sapendo perfettamente che nessuno è obbligato a rispondermi, ringrazio anticipatamente chi mi vorrà aiutare

[Seneca1]

Potresti essere un tantino più chiaro sulla notazione che usi? Chi sono $(X^k)_B$ e $X_(B^k)$ ?

[dave lizewski]

"blabla":
Per ogni intero positivo n, sia $X_n={x in Z : 0<=x2$ e sia $k>0$ si dimostri che la funzione

$f:X^(k)_B->X_(B^k)$ definita cosi $ (a_0, a_1,........,a_(k-1))->a_0+a_1B+....................+a_(k-1)B^(k-1)$ è una biezione.

Mi permetto di mettere la B in minuscolo perchè è un intero positivo.
Allora $b$ è un intero fissato $>2$ e dalla definizione si ha che $X_b ::= {0,1,2,...,b-1}$

Sia $ f \ : \ X^(k)_b->X_(b^k)$ definita da $ f (a_0, a_1,........,a_(k-1)) = a_0+a_1 b +...+a_(k-1) b^(k-1)$

$ AA (a_0, a_1,........,a_(k-1)) in X^(k)_b ::= X_b times X_b ... times X_b $ per $k$ volte.

1) Verifico che $f$ è iniettiva.

Siano $x,y in X^(k)_b$ con $ x != y $
Perciò $ x = (x_0, x_1,........,x_(k-1)), y = (y_0, y_1,........,y_(k-1))$ ed esiste almeno un $j$ tale che $x_j != y_j $.

Allora dalla definizione di $f$ segue che $x_j b^j != y_j b^j$ perchè i coefficienti sono diversi e quindi
$ f (x) = x_0+...x_j b^j +...x_(k-1) b^(k-1) != y_0+...y_j b^j +...y_(k-1) y^(k-1) = f (y) $

Ciò vale perchè il "contributo" di ciascun addendo di queste somme non può essere compensato dagli altri addendi
e quindi se almeno due addendi sono diversi anche le due somme sono diverse.

Ciò significa che la $f$ manda elementi diversi del dominio in elementi diversi del codominio e perciò è iniettiva.

2) Verifico che $f$ è suriettiva.

Calcolo il numero di elementi del dominio e del codominio.

$| X^(k)_b | = | X_b times X_b ... times X_b $ per $k$ volte $| = b^k $ (perchè $X_b$ ha $b$ elementi.)

$| X_(b^k) | = | { 0, 1, ..., b^k - 1 } | = b^k $

Osservo che $f$ è una funzione iniettiva tra due insiemi finiti di uguale cardinalità e quindi $f$ deve essere
anche suriettiva e perciò biiettiva.

Spero di essere stato chiaro (oltre che ovviamente di aver scritto cose corrette), ciao.