Frazioni parziali
Ciao a tutti! Dati i polinomi $f,g\in K[X]$ con $K$ campo e $g$ monico fattorizzabile in elementi primi $g_i$ non associati a due a due come $g=g_1^{\nu_1}...g_n^{\nu_n}$, allora $\frac{f}{g}\in Q(K[X])$ ha una rappresentazione (unica?) come\[\frac{f}{g}=f_0+\sum_{i=1}^n \frac{f_i}{g_i^{\nu_i}}\]tale che \(g_i\nmid f_i\) e \(\text{grad}f_i<\text{grad}g_i^{\nu_i}\).
Ora, dal fatto che \((g_i^{\nu_i},\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j})=K[X]\), cioè sono coprimi, vedo che esistono $a,b\in K[X]$ tali che \(ag_i^{\nu_i}+b\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j}=f\) da cui $\frac{f}{g} =\frac{a}{\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j}} +b/g_i^{\nu_i}$ e procedendo per induzione non mi sembrerebbe difficile ottenere l'asserto, se non fosse che non riesco a vedere come si possa essere certi che esistano $a$ e $b$ di grado strettamente minore di quello del "denominatore"...
Qualcuno ha un'idea?
Trovo questo argomento particolarmente affascinante perché è da quando studiai la scomposizione in frazioni parziali come tecnica del calcolo integrale che mi chiedo che cosa ci assicura che una tale scomposizione esista sempre, e adesso ho trovato questo esercizio di algebra che ha come scopo la dimostrazione proprio di questo!
$+\infty$ grazie a tutti!!!
Ora, dal fatto che \((g_i^{\nu_i},\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j})=K[X]\), cioè sono coprimi, vedo che esistono $a,b\in K[X]$ tali che \(ag_i^{\nu_i}+b\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j}=f\) da cui $\frac{f}{g} =\frac{a}{\prod_{j\ne i} g_j^{\nu_j}} +b/g_i^{\nu_i}$ e procedendo per induzione non mi sembrerebbe difficile ottenere l'asserto, se non fosse che non riesco a vedere come si possa essere certi che esistano $a$ e $b$ di grado strettamente minore di quello del "denominatore"...
Qualcuno ha un'idea?
Trovo questo argomento particolarmente affascinante perché è da quando studiai la scomposizione in frazioni parziali come tecnica del calcolo integrale che mi chiedo che cosa ci assicura che una tale scomposizione esista sempre, e adesso ho trovato questo esercizio di algebra che ha come scopo la dimostrazione proprio di questo!
$+\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Mi autorispondo per segnalare a chi avesse già letto il post interessandosene, ma non riuscendo a trovare da sé una soluzione, che ho finalmente trovato una dimostrazione qui.
D'ora in poi quando mi troverò davanti una decomposizione del genere, come spesso si usa nel calcolo integrale, non avrò più la frustrazione di non sapere perché funziona.
D'ora in poi quando mi troverò davanti una decomposizione del genere, come spesso si usa nel calcolo integrale, non avrò più la frustrazione di non sapere perché funziona.
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