Formule asintotiche chiuse

[davped92]

Ciao a tutti!!
Devo risolvere dei problemi di questo tipo:
Trovare una formula chiusa per $ sum_(i = 1)^(n) sum_(j = 1)^(n)(i+j) $
Vorrei sapere passo passo il metodo risolutivo di questo tipo di esercizio e se avete da consigliarmi qualche testo sul quale capire questo argomento.
Grazie

[gugo82]

Beh, in questo caso c'è pochissimo da dire, perché puoi fare i conti esplicitamente usando la notissima formula per la somma di naturali consecutivi.
Infatti, per fissato \(i\) hai:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n i+j &= \sum_{i=1}^n i +\sum_{j=1}^n j \\
&= i\ \sum_{i=1}^n 1 +\sum_{j=1}^n j \\
&= n\ i + \frac{n(n+1)}{2}
\end{split}
\]
e dunque:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n i+j &= \sum_{i=1}^n n\ i + \frac{n(n+1)}{2}\\
&= \sum_{i=1}^n n\ i + \sum_{i=1}^n \frac{n(n+1)}{2} \\
&= n\ \sum_{i=1}^n i + \frac{n(n+1)}{2}\ \sum_{i=1}^n 1 \\
&= n\ \frac{n (n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}\ n \\
&= n^2\ (n+1)\; .
\end{split}
\]
Quindi la tua somma è \(\sim n^3\).