Forme modulari e serie di Eisenstein
Salve a tutti.
Nella teoria delle forme modulari, il primo esempio classico di forma modulare che si dà è quello delle serie di Eisenstein. L'idea è semplice, bisogna trovare una funzione analitica $f: H \to CC$ definita sul semipiano complesso $H:= \{ z= x + iy \in CC | y > 0 \}$ che soddisfi la condizione di modularità per ogni matrice in $SL_2(ZZ)$:
$(f |_k [\gamma])(z) : = (cz + d)^(-k) f(\gamma z) = f(z)$ dove $\gamma = ((a,b),(c,d)) \in SL_2(ZZ)$,
dove per $\gamma z$ si intende l'azione del gruppo modulare $SL_2(ZZ)$ sul semipiano complesso $H$ per via della trasformazione di Moebius:
$\gamma z = ((a,b),(c,d)) z := (az + b)/(cz + d)$.
Per costruire $f$, l'idea è quella di prendere una funzione costante $= c$ e sommare il valore $c |_k [\gamma]$ su tutti gli elementi di $SL_2(ZZ)$. Quindi prendiamo la funzione $f_0(z) = 1$ e otteniamo la funzione:
$f = \sum_{ \gamma \in SL_2(ZZ) } 1 |_k [\gamma] = \sum_{ \gamma \in SL_2(ZZ) } (cz + d)^(-k)$
si può provare che soddisfa la condizione di modularità (visto che è una somma su un gruppo), ma questa funzione non può convergere perché per esempio si ha che:
$((1,n),(0,1))((...,...),(c,d)) = ((...,...),(c,d))$
quindi abbiamo infinite coppie $(c,d)$ nella somma, per ogni matrice della forma $((1,n),(0,1))$, $n \in ZZ$.
L'idea è quindi, posto $\Gamma = SL_2(ZZ)$ e $\Gamma_{\infty} = \{ ((1,n),(0,1)) | n \in ZZ \}$, di guardare al quoziente $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$ e notare che la somma comverge.
Quindi si guarda la somma
$ \sum_{ [\gamma] \in \Gamma_{\infty} \setminus \Gamma} 1 |_k [\gamma]$.
Fino qui tutto chiaro. Il mio problema è relativo al gruppo quoziente $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$, perché di seguito lo si può identificare con le coppie $(c,d)$ che sono relativamente prime.
Da qui la definizione di serie di Eisenstein: $E_k(z) := 1/2 \sum_{(c,d) \in ZZ^2 ; (c,d) = 1} (cz + d)^(-k)$
Ma non ho bene in chiaro questa identificazione.
Posso prendere per esempio la funzione
$\psi: \Gamma_{\infty} \setminus \Gamma \to \{ (c,d) | (c,d) = 1 \}$
$psi( [((a,b),(c,d))] ) := (c,d)$
Ed ora dovrei far vedere che essa è ben definita (boh??), iniettiva (credo che sia fattibile), e suriettiva (semplice).
Suriettiva:
Ogni coppia $(c,d)$ è indotta da una matrice $((a,b),(c,d)) \in SL_2(ZZ)$. Quindi è suriettiva.
Iniettiva:
Dato $(c,d) = (c',d')$, dobbiamo far vedere che le rispettive matrici della forma $((a,b),(c,d))$ e $((a',b'),(c',d'))$ sono nella stessa classe di equivalenza in $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$. Ma come utilizzare che $(c,d)$ sono relativamente primi?
Ben definita:
nessuna idea!!
Qualcuno ha qualche idea? Grazie
Nella teoria delle forme modulari, il primo esempio classico di forma modulare che si dà è quello delle serie di Eisenstein. L'idea è semplice, bisogna trovare una funzione analitica $f: H \to CC$ definita sul semipiano complesso $H:= \{ z= x + iy \in CC | y > 0 \}$ che soddisfi la condizione di modularità per ogni matrice in $SL_2(ZZ)$:
$(f |_k [\gamma])(z) : = (cz + d)^(-k) f(\gamma z) = f(z)$ dove $\gamma = ((a,b),(c,d)) \in SL_2(ZZ)$,
dove per $\gamma z$ si intende l'azione del gruppo modulare $SL_2(ZZ)$ sul semipiano complesso $H$ per via della trasformazione di Moebius:
$\gamma z = ((a,b),(c,d)) z := (az + b)/(cz + d)$.
Per costruire $f$, l'idea è quella di prendere una funzione costante $= c$ e sommare il valore $c |_k [\gamma]$ su tutti gli elementi di $SL_2(ZZ)$. Quindi prendiamo la funzione $f_0(z) = 1$ e otteniamo la funzione:
$f = \sum_{ \gamma \in SL_2(ZZ) } 1 |_k [\gamma] = \sum_{ \gamma \in SL_2(ZZ) } (cz + d)^(-k)$
si può provare che soddisfa la condizione di modularità (visto che è una somma su un gruppo), ma questa funzione non può convergere perché per esempio si ha che:
$((1,n),(0,1))((...,...),(c,d)) = ((...,...),(c,d))$
quindi abbiamo infinite coppie $(c,d)$ nella somma, per ogni matrice della forma $((1,n),(0,1))$, $n \in ZZ$.
L'idea è quindi, posto $\Gamma = SL_2(ZZ)$ e $\Gamma_{\infty} = \{ ((1,n),(0,1)) | n \in ZZ \}$, di guardare al quoziente $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$ e notare che la somma comverge.
Quindi si guarda la somma
$ \sum_{ [\gamma] \in \Gamma_{\infty} \setminus \Gamma} 1 |_k [\gamma]$.
Fino qui tutto chiaro. Il mio problema è relativo al gruppo quoziente $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$, perché di seguito lo si può identificare con le coppie $(c,d)$ che sono relativamente prime.
Da qui la definizione di serie di Eisenstein: $E_k(z) := 1/2 \sum_{(c,d) \in ZZ^2 ; (c,d) = 1} (cz + d)^(-k)$
Ma non ho bene in chiaro questa identificazione.
Posso prendere per esempio la funzione
$\psi: \Gamma_{\infty} \setminus \Gamma \to \{ (c,d) | (c,d) = 1 \}$
$psi( [((a,b),(c,d))] ) := (c,d)$
Ed ora dovrei far vedere che essa è ben definita (boh??), iniettiva (credo che sia fattibile), e suriettiva (semplice).
Suriettiva:
Ogni coppia $(c,d)$ è indotta da una matrice $((a,b),(c,d)) \in SL_2(ZZ)$. Quindi è suriettiva.
Iniettiva:
Dato $(c,d) = (c',d')$, dobbiamo far vedere che le rispettive matrici della forma $((a,b),(c,d))$ e $((a',b'),(c',d'))$ sono nella stessa classe di equivalenza in $\Gamma_{\infty} \setminus \Gamma$. Ma come utilizzare che $(c,d)$ sono relativamente primi?
Ben definita:
nessuna idea!!
Qualcuno ha qualche idea? Grazie
Risposte
Scusa la domanda, che non c'entra nulla con uello che hai scritto. In che corso si studia questa roba?
Era un corso facoltativo che ho seguito sulle forme modulari. Sono particolari funzioni analitiche sul semipiano complesso superiore che hanno alcune proprietà che permettono di ricavare alcuni teoremi importanti nella teoria delle curve ellittiche e nella teoria dei numeri (specialmente riguardo alle funzioni theta, alla funzione zeta di Riemann e il suo prolungamento analitico, e più in generale alle L-funzioni). In particolare c'è una congettura del millennio, quella di Birch-Swinnerton-Dyer, che ha molto a che fare con questa teoria.
In aggiunta, anche l'ultimo teorema di Fermat lo si dimostra considerando forme modulari di peso $k=2$.
In aggiunta, anche l'ultimo teorema di Fermat lo si dimostra considerando forme modulari di peso $k=2$.
davvero splendido...
Quindi tipo per fare questo corso bisogna avere conoscenze di algebra I e II e teoria di Galois?
Quindi tipo per fare questo corso bisogna avere conoscenze di algebra I e II e teoria di Galois?
Direi che algebra a livello di gruppi basti, mentre consiglierei vivamente di rivedere l'analisi complessa prima di trattare queste cose.
ok....
e un altra domanda....analisi complessa, personalmente ho chiesto, e non c'è un corso alla mia facoltà, secondo te quando potrei ovviare questo problema e iniziare a studiare un buon libro di sta roba? (tieni conto che sono al primo anno di mate, e ho le basi di geometria, analisi e algebra)
e un altra domanda....analisi complessa, personalmente ho chiesto, e non c'è un corso alla mia facoltà, secondo te quando potrei ovviare questo problema e iniziare a studiare un buon libro di sta roba? (tieni conto che sono al primo anno di mate, e ho le basi di geometria, analisi e algebra)
Direi che potresti già iniziare ora a vedere qualche cosa, ad esempio cosa si intende per funzione differenziabile nel piano complesso, la definizione di funzione analitica (o olomorfa) e le condizioni di Cauchy-Riemann. Cerca in wikipedia o su google queste cose.
Di libri utili invece non so consigliarti, mi spiace.
PS: esiste qualcuno che ha seguito un corso del genere, sulla teoria delle forme modulari?
Di libri utili invece non so consigliarti, mi spiace.
PS: esiste qualcuno che ha seguito un corso del genere, sulla teoria delle forme modulari?
ok grazie!
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