Formalismo polinomi
Ciao!
c'è una costruzione rigorosa dell'anello dei polinomi?
Studiandoli mi sono sorti alcuni dubbi che sono sostanzialmente formali.
Per prima cosa si considera un anello commutativo con unità, chiamiamolo $R$ e poi l'insieme di tutte le successioni a valori nell'anello.
si dota $R^(NN)$ della struttura di anello commutativo con unità, semplicemente ponendo:
e quindi si pone
che si mostra essere un sottoanello di $R^(NN)$
dunque identifichiamo l'anello dei polinomi come l'insieme delle successioni definitivamente costanti dotato di quelle due operazioni.
da quì in poi il buio, per il semplice fatto che mi piacerebbe costruire, dato un insieme $R$, l'insieme $R^(infty)$ in modo tale da associare a una successione una stringa 'infinita', ma non ho sostanzialmente idea di come fare.
Qualcuno ha qualche dispensa o conoscenza su come si faccia?
la scrittura $R^(infty):={(x_0,x_1,...,x_k,...) | {x_n}_(n inNN)subseteqR}$ non mi fa impazzire
c'è una costruzione rigorosa dell'anello dei polinomi?
Studiandoli mi sono sorti alcuni dubbi che sono sostanzialmente formali.
Per prima cosa si considera un anello commutativo con unità, chiamiamolo $R$ e poi l'insieme di tutte le successioni a valori nell'anello.
$R^(NN):={a:NN->R}$
si dota $R^(NN)$ della struttura di anello commutativo con unità, semplicemente ponendo:
${a_n}_(n inNN)+{b_n}_(n inNN):={a_n+b_n}_(n inNN)$
${a_n}_(n in NN)*{b_n}_(n inNN):={sum_(k=0)^(n)a_kb_(n-k)}_(n inNN)$
${a_n}_(n in NN)*{b_n}_(n inNN):={sum_(k=0)^(n)a_kb_(n-k)}_(n inNN)$
e quindi si pone
$R_(NN):={a in R^(NN)| exists m inNN:a_n=0foralln>m}$
che si mostra essere un sottoanello di $R^(NN)$
dunque identifichiamo l'anello dei polinomi come l'insieme delle successioni definitivamente costanti dotato di quelle due operazioni.
da quì in poi il buio, per il semplice fatto che mi piacerebbe costruire, dato un insieme $R$, l'insieme $R^(infty)$ in modo tale da associare a una successione una stringa 'infinita', ma non ho sostanzialmente idea di come fare.
Qualcuno ha qualche dispensa o conoscenza su come si faccia?
la scrittura $R^(infty):={(x_0,x_1,...,x_k,...) | {x_n}_(n inNN)subseteqR}$ non mi fa impazzire
Risposte
Non è per niente chiaro cosa vuoi costruire...
Provo a interpretare? Vuoi prendere un insieme arbitrario $I$ e costruire qualcosa di simile a $R^{NN}$.
Puoi farlo, basta considerare
1. L'insieme delle funzioni $I\to R$; questo ha una struttura di anello (definita analogamente a come hai fatto tu per $I=NN$), e ha la proprietà universale di $\prod_{i\in I}R$.
2. Il suo sottoanello fatto dagli elementi costantemente nulli su un cofinito $J\subseteq I$; è il sottoanello \(\bigoplus_{i\in I}R\).
Puoi farlo, basta considerare
1. L'insieme delle funzioni $I\to R$; questo ha una struttura di anello (definita analogamente a come hai fatto tu per $I=NN$), e ha la proprietà universale di $\prod_{i\in I}R$.
2. Il suo sottoanello fatto dagli elementi costantemente nulli su un cofinito $J\subseteq I$; è il sottoanello \(\bigoplus_{i\in I}R\).
Non l'ho chiaro nemmeno io, quindi ti chiedo di sorpassarmi e cercare di capire cosa intendo.
Andiamoci così, come si arriva alla scrittura formale $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$?
so solo che ${a_n}$ in genere è una successione definitivamente nulla
$x^m:=(0,...,1,...,0,...)$ dove l'unità si trova nel posto $m-$esimo
intuitivamente non ci sono problemi, ma queste 'stringhe' di lunghezza infinita come si costruiscono?
Avevo in mente di partire dal prodotto cartesiano definito come
$R^n:={(R if n=1),(R^(n+1)=R^(n-1)timesR if n>1):}$
ma suppongo che per parlare di 'stringhe di lunghezza infinita' bisogna introdurre il concetto $R^(infty)$ cosa che da un lato non ho idea di come costruire, da un altro lato non ho idea di dove trovarlo.
EDIT: mi hai preceduto
diciamo che hai interpretato correttamente dove io voglia arrivare, solo che ancora non ci sono del tutto.
per proprietà universale cosa intendi?
per cofinito cosa intendi?
è un argomento che voglio capire a fondo.
Andiamoci così, come si arriva alla scrittura formale $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$?
so solo che ${a_n}$ in genere è una successione definitivamente nulla
$x^m:=(0,...,1,...,0,...)$ dove l'unità si trova nel posto $m-$esimo
intuitivamente non ci sono problemi, ma queste 'stringhe' di lunghezza infinita come si costruiscono?
Avevo in mente di partire dal prodotto cartesiano definito come
$R^n:={(R if n=1),(R^(n+1)=R^(n-1)timesR if n>1):}$
ma suppongo che per parlare di 'stringhe di lunghezza infinita' bisogna introdurre il concetto $R^(infty)$ cosa che da un lato non ho idea di come costruire, da un altro lato non ho idea di dove trovarlo.
EDIT: mi hai preceduto
diciamo che hai interpretato correttamente dove io voglia arrivare, solo che ancora non ci sono del tutto.
per proprietà universale cosa intendi?
per cofinito cosa intendi?
è un argomento che voglio capire a fondo.
queste 'stringhe' di lunghezza infinita come si costruiscono?
Cosa intendi con "costruiscono"?
La definizione che hai dato per $NN$, e che ti ho detto per un $I$ generico, esibisce rispettivamente un oggetto che ha la proprietà universale del prodotto $|I|$-ario, e un oggetto che ha la proprietà universale del coprodotto $|I|$-ario, nella categoria degli anelli. Gli elementi del primo sono proprio le funzioni $f : I\to R$, confuse con la famiglia $(x_i)_{i\in I}$ di elementi di $R$ indicizzati da $I$. Gli elementi del secondo sono quelli del primo che sono anche non nulli al piu su un sottoinsieme finito di $I$.
il problema è che al momento voglio solo arrivare alla scrittura 'formale'. Che in sostanza si ottiene a partire da una successione qualsiasi in questo modo
[size=75]$(a_0,...,a_m,0,...)=(a_0,0,...)*(1,0,...)+(a_1,0,...)*(0,1,...)+...+(a_m,0,...)*(0,...1,...):=a_0x^0+a_1x^1+...+a_mx^m$[/size]
il problema è: chi è $(x_0,x_1,...,x_m,...)$? di quale insieme è elemento?
per esempio $R^n:={(x_1,...,x_n): x_1,...,x_n in R}$
si potrebbe scrivere meglio ma ok, ci siamo, l'insieme è costruito con $n$ copie di $R$ e ci posso mettere mano
il problema è quando parliamo di $prod_(n inNN)R$ che mi destabilizzo un poco
chiaramente ho capito la cosa dell'indicizzazione per un qualsiasi insieme $I$ di indici, per ora preferisco però fissare il concetto per i polinomi con $NN$
Edit:
Sto notando solo ora che $R^(infty)$ altro non sarebbe l’insieme delle successioni a valori in $R$
[size=75]$(a_0,...,a_m,0,...)=(a_0,0,...)*(1,0,...)+(a_1,0,...)*(0,1,...)+...+(a_m,0,...)*(0,...1,...):=a_0x^0+a_1x^1+...+a_mx^m$[/size]
il problema è: chi è $(x_0,x_1,...,x_m,...)$? di quale insieme è elemento?
per esempio $R^n:={(x_1,...,x_n): x_1,...,x_n in R}$
si potrebbe scrivere meglio ma ok, ci siamo, l'insieme è costruito con $n$ copie di $R$ e ci posso mettere mano
il problema è quando parliamo di $prod_(n inNN)R$ che mi destabilizzo un poco
chiaramente ho capito la cosa dell'indicizzazione per un qualsiasi insieme $I$ di indici, per ora preferisco però fissare il concetto per i polinomi con $NN$
Edit:
Sto notando solo ora che $R^(infty)$ altro non sarebbe l’insieme delle successioni a valori in $R$
Non ti è chiarissimo cosa sono polinomi e serie formali, mi pare 
Formalmente no.
Sono solo fermo al fatto di poterli definire come l’insieme delle successioni a valori in un anello che siano definitivamente costanti e munito di quelle operazioni, stop.
Poi sul saperci operare e ‘giocare’ ci siamo, ma preferirei farmi una cultura in più
Se avessi a disposizione qualche dispensa te ne sarei grato
Sono solo fermo al fatto di poterli definire come l’insieme delle successioni a valori in un anello che siano definitivamente costanti e munito di quelle operazioni, stop.
Poi sul saperci operare e ‘giocare’ ci siamo, ma preferirei farmi una cultura in più
Se avessi a disposizione qualche dispensa te ne sarei grato
E per quanto riguarda i polinomi?
Vuoi delle dispense? Eccotele: http://web.math.unifi.it/users/casolo/d ... a1_17B.pdf, il capitolo 8 parla dei polinomi, comincia a pagina 185.
Comunque non è che ci sia molto altro rispetto a quanto hai già detto, per esempio si identifica un $a\inA$ con $(a,0,...,0,...)\inA[x]$ così da avere una copia di $A$ dentro a $A[x]$ e poi l'elemento $(0,1,0,...,0,...)$ lo chiamiamo $x$, ed il resto è storia.
Comunque non è che ci sia molto altro rispetto a quanto hai già detto, per esempio si identifica un $a\inA$ con $(a,0,...,0,...)\inA[x]$ così da avere una copia di $A$ dentro a $A[x]$ e poi l'elemento $(0,1,0,...,0,...)$ lo chiamiamo $x$, ed il resto è storia.
Eh, cosa vuoi sapere? Dopo la descrizione come funzioni quasi ovunque nulle cos'altro vuoi?
Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’
Solo questo é il mio cruccio
Per il resto ti ringrazio di quel che mi hai mandato!
@otta: grazie mille!
Il problema è propio quella ‘stringa infinita’ che penso denoti solo una scrittura formale per elencare gli elementi della successione. Spero di non sbagliarmi!
Solo questo é il mio cruccio
Per il resto ti ringrazio di quel che mi hai mandato!
@otta: grazie mille!
Il problema è propio quella ‘stringa infinita’ che penso denoti solo una scrittura formale per elencare gli elementi della successione. Spero di non sbagliarmi!
"anto_zoolander":
Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’?
Sostanzialmente con un paio di conti ti accorgi che l'anello dei polinomi è generato da $x$ e la copia di $A$ presente in $A[x]$ di cui ti avevo già parlato, e quindi ogni polinomio si può scrivere come sai.
L'anello dei polinomi in una indeterminata, e coefficienti in un anello $A$, è l'$A$-algebra libera su un elemento. Questo significa tra le altre cose che
- Un omomorfismo di $A$-algebre $f : A[x]\to S$ è univocamente determinato dall'immagine di $x$, il che è solo un modo esplicito di affermare che
- esiste una biiezione tra l'insieme degli omomorfismi di $A$-algebre $A[x]\to S$ e l'insieme degli elementi di $S$.
Più esplicitamente,
- la $A$-algebra libera sul generatore $x$ si scrive come l'insieme degli elementi $a_0 + a_1x+a_2 x^2+...+a_n x^n$ al variare di $n\in NN$ e degli elementi $a_0,...,a_n\in A$.
Se vuoi chiudere il cerchio, mostra che l'ultimo insieme che ti ho definito ha le proprietà scritte prima.
- Un omomorfismo di $A$-algebre $f : A[x]\to S$ è univocamente determinato dall'immagine di $x$, il che è solo un modo esplicito di affermare che
- esiste una biiezione tra l'insieme degli omomorfismi di $A$-algebre $A[x]\to S$ e l'insieme degli elementi di $S$.
Più esplicitamente,
- la $A$-algebra libera sul generatore $x$ si scrive come l'insieme degli elementi $a_0 + a_1x+a_2 x^2+...+a_n x^n$ al variare di $n\in NN$ e degli elementi $a_0,...,a_n\in A$.
Se vuoi chiudere il cerchio, mostra che l'ultimo insieme che ti ho definito ha le proprietà scritte prima.
Perfetto domani metto insieme tutto e faccio le cose per benino.
Vi ringrazio della pazienza
Vi ringrazio della pazienza
Chiama $c_(00)(mathbb{K})$ l’insieme delle successioni definitivamente nulle sul campo $mathbb{K}$.
Se doti tale insieme delle usuali operazioni di somma e prodotto di Cauchy ottieni un anello unitario commutativo.
Chiama $X:=(0,1,0,0,...)$ e verifica che $X^2= X*X=(0,0,1,0,...)$, $X^3 =X^2*X=(0,0,0,1,0,...)$ e più in generale che $X^n=(delta_k^(n+1))$.
Quindi i vettori di base di $c_(00)$ li puoi esprimere come potenze di $X$.
Se doti tale insieme delle usuali operazioni di somma e prodotto di Cauchy ottieni un anello unitario commutativo.
Chiama $X:=(0,1,0,0,...)$ e verifica che $X^2= X*X=(0,0,1,0,...)$, $X^3 =X^2*X=(0,0,0,1,0,...)$ e più in generale che $X^n=(delta_k^(n+1))$.
Quindi i vettori di base di $c_(00)$ li puoi esprimere come potenze di $X$.
@gugo
Sei sempre illuminante grazie mille!
La scrittura $(0,1,0,...)$ indica formalmente soltanto l’andamento della successione e la delta mi sembra essere quella di Kronecker. Giusto?
Sei sempre illuminante
grazie mille!La scrittura $(0,1,0,...)$ indica formalmente soltanto l’andamento della successione e la delta mi sembra essere quella di Kronecker. Giusto?
"anto_zoolander":
@gugo
Sei sempre illuminante
Prego.
Il più delle volte bastano poche parole dette bene.
"anto_zoolander":
La scrittura $(0,1,0,...)$ indica formalmente soltanto l’andamento della successione e la delta mi sembra essere quella di Kronecker. Giusto?
Certo.
Se vuoi, $X:=(delta_k^1)$ (con $delta$ di Kronecher) e prova che $X^n*X^m=X^(n+m)$.
"Indrjo Dedej":
Se non l'hai visto,
viewtopic.php?t=125334
Ultimo post.
Che è mio...
Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’
Solo questo é il mio cruccio
Dato un linguaggio (algebrico, i.e. senza predicati) $tau$ , e un insieme di variabili $V$, costruisci induttivamente la cosiddetta algebra dei termini, chiamala Term($V$, $tau$), come l'insieme di tutte le espressioni costruibili a partire dalle variabili utilizzando le operazioni in $tau$. Ora, questo insieme ha la proprietà universale per cui per ogni funzione dall'insieme di variabili $V$ a un insieme $A$ in cui sia interpretabile il linguaggio $tau$, esiste unico un morfismo di $tau$-strutture da Term($V$, $tau$) ad $A$ che in parole povere non fa altro che interpretare i termini del linguaggio negli elementi di $A$ nel modo prescritto dalla funzione da $V$ ad $A$. Se ti restringi a una sottoclasse delle $tau$-strutture data da tutti i modelli di una teoria esprimibile nel linguaggio $tau$, la proprietà universale di cui sopra sarà soddisfatta da un opportuno quoziente di Term($V$, $tau$), per la congurenza che identifica esattamente ciò che deve essere identificato affinchè il quoziente soddisfi gli assiomi della teoria (la congruenza è una certa insersezione di nuclei di morfismi)
Ora prendi $V= x $, cioè una sola variabile, e $tau$ = linguaggio degli anelli comm unitari, l'algebra dei termini sarà l'insieme di tutte le espressioni costruibili usando somma prodotto zero uno e la $x$, e il suo quoziente sarà esattamente l'anello di tutte le espressioni polinomiali nella variabile $x$ a coefficienti interi.
A questo punto è chiaro che ogni altro anello che soddisfa la stessa prop. universale è isomorfo a questo quoziente che ho descritto, e quindi i suoi elementi li puoi rappresentare in quel modo.
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