Formalismo polinomi
Ciao!
c'è una costruzione rigorosa dell'anello dei polinomi?
Studiandoli mi sono sorti alcuni dubbi che sono sostanzialmente formali.
Per prima cosa si considera un anello commutativo con unità, chiamiamolo $R$ e poi l'insieme di tutte le successioni a valori nell'anello.
si dota $R^(NN)$ della struttura di anello commutativo con unità, semplicemente ponendo:
e quindi si pone
che si mostra essere un sottoanello di $R^(NN)$
dunque identifichiamo l'anello dei polinomi come l'insieme delle successioni definitivamente costanti dotato di quelle due operazioni.
da quì in poi il buio, per il semplice fatto che mi piacerebbe costruire, dato un insieme $R$, l'insieme $R^(infty)$ in modo tale da associare a una successione una stringa 'infinita', ma non ho sostanzialmente idea di come fare.
Qualcuno ha qualche dispensa o conoscenza su come si faccia?
la scrittura $R^(infty):={(x_0,x_1,...,x_k,...) | {x_n}_(n inNN)subseteqR}$ non mi fa impazzire
c'è una costruzione rigorosa dell'anello dei polinomi?
Studiandoli mi sono sorti alcuni dubbi che sono sostanzialmente formali.
Per prima cosa si considera un anello commutativo con unità, chiamiamolo $R$ e poi l'insieme di tutte le successioni a valori nell'anello.
$R^(NN):={a:NN->R}$
si dota $R^(NN)$ della struttura di anello commutativo con unità, semplicemente ponendo:
${a_n}_(n inNN)+{b_n}_(n inNN):={a_n+b_n}_(n inNN)$
${a_n}_(n in NN)*{b_n}_(n inNN):={sum_(k=0)^(n)a_kb_(n-k)}_(n inNN)$
${a_n}_(n in NN)*{b_n}_(n inNN):={sum_(k=0)^(n)a_kb_(n-k)}_(n inNN)$
e quindi si pone
$R_(NN):={a in R^(NN)| exists m inNN:a_n=0foralln>m}$
che si mostra essere un sottoanello di $R^(NN)$
dunque identifichiamo l'anello dei polinomi come l'insieme delle successioni definitivamente costanti dotato di quelle due operazioni.
da quì in poi il buio, per il semplice fatto che mi piacerebbe costruire, dato un insieme $R$, l'insieme $R^(infty)$ in modo tale da associare a una successione una stringa 'infinita', ma non ho sostanzialmente idea di come fare.
Qualcuno ha qualche dispensa o conoscenza su come si faccia?
la scrittura $R^(infty):={(x_0,x_1,...,x_k,...) | {x_n}_(n inNN)subseteqR}$ non mi fa impazzire
Risposte
Questo forum sta diventando sempre più interessante.
Questo è il punto di vista classico della teoria dei modelli. Dalla tesi di lawvere in poi per fortuna c'è un approccio funtoriale alla semantica delle teorie algebriche.
Una maniera più concisa di dire la stessa cosa è che esiste una teoria di lawvere per gli anelli commutativi unitari, e la sua categoria dei modelli (la categoria degli anelli unitari) è monadica su Set. L'anello dei polinomi in un dato insieme di variabili è l'immagine dell'insieme mediante il funtore libero associato.
Una maniera più concisa di dire la stessa cosa è che esiste una teoria di lawvere per gli anelli commutativi unitari, e la sua categoria dei modelli (la categoria degli anelli unitari) è monadica su Set. L'anello dei polinomi in un dato insieme di variabili è l'immagine dell'insieme mediante il funtore libero associato.
Per rispondere alla domanda dell'OP nel linguaggio di killing_buddha:
A quel punto un elemento dell'insieme dei polinomi in $n$ variabili è una trasformazione naturale $U^n$ $rArr$ $U$, (dove $U$ è il funtore che dimentica la struttura di anello), i.e. un'operazione derivata (che vuol dire solo costruita a partire da quelle date nel linguaggio) , i.e. un elemento (del quoziente) dell'algebra dei termini su $n$. Vedere i polinomi come operazioni derivate nel linguaggio degli anelli poi ti fa capire che studiare gli zeri di un insieme di polinomi equivale a studiare lo spazio i cui punti sono i modelli che soddisfano un insieme di identità, seguendo la dualità tra semantica e sintassi..
A quel punto un elemento dell'insieme dei polinomi in $n$ variabili è una trasformazione naturale $U^n$ $rArr$ $U$, (dove $U$ è il funtore che dimentica la struttura di anello), i.e. un'operazione derivata (che vuol dire solo costruita a partire da quelle date nel linguaggio) , i.e. un elemento (del quoziente) dell'algebra dei termini su $n$. Vedere i polinomi come operazioni derivate nel linguaggio degli anelli poi ti fa capire che studiare gli zeri di un insieme di polinomi equivale a studiare lo spazio i cui punti sono i modelli che soddisfano un insieme di identità, seguendo la dualità tra semantica e sintassi..
E allora a questo punto diciamo anche che il Nullstellensatz di Hilbert è equivalente a dire che la trasformazione naturale ovvia tra $\text{disc}$ e $\Pi_0$ nella struttura di topos coesivo della categoria opposta a $k\text{-}\mathbf{Prime}$ (le $k$-algebre prime, dove cioè non ci sono idempotenti non banali) è un epimorfismo oggetto per oggetto.
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