Forma chiusa di successioni ricorsive lineari
Avevo un dubbio riguardo a cosa fare quando l'equazione associata di una successione ricorsiva del tipo
$a(n)=pa(n-1) +qa(n-2)$
ha il discriminante negativo ( notare che (n),(n-1) e (n-2) dovrebbero essere pedeci, ma non so come scriverli
). So che dette R1 e R2 le soluzioni dell'equazione associata, abbiamo che
$a(n)=c(R1)^n +d(R2)^n$ (1)
dove c e d si ottengono imponendo l'equazione vera per a(0) e a(1).
Tuttavia in alcuni casi mi tornano risultati impossibili. Se per esempio l'equazione associata ha soluzioni complesse, esse saranno coniugate e del tipo
$R1=a+bi$ e $R2=a-bi$
allora ponendo n=0 nell'equazione (1) ottengo che $c+d=a(0)$, ma ponendo n=1 ottengo che $a(1)=a(c+d)+b(c-d)i$, ma ciò non è sempre possibile, infatti basta che a(1) sia diverso da $a(c+d)$ perché non vi siano soluzioni.
Il fatto è che nel libro ("Schede olimpiche " di Gobbino) è scritto che:
"se R1 e R2 sono diversi (anche se complessi) si ha che vale la (1) per certi valori di c e d, ottenuti proprio ponendo a sistema la (1) nei casi in cui n=0 e n=1"
Inoltre si afferma che "Nel caso in cui R1 e R2 siano numeri complessi è possibile scrivere una formula che contenga solo numeri reali, che avrà una forma del tipo
$a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$
dove A e B si ottengono facilmente dalla forma esponenziale, mentre K e J vanno in qualche modo (non specificato) ricavati da c e da d. Visto che non so trovare c e d, capite che ho un bel problema....
$a(n)=pa(n-1) +qa(n-2)$
ha il discriminante negativo ( notare che (n),(n-1) e (n-2) dovrebbero essere pedeci, ma non so come scriverli
). So che dette R1 e R2 le soluzioni dell'equazione associata, abbiamo che $a(n)=c(R1)^n +d(R2)^n$ (1)
dove c e d si ottengono imponendo l'equazione vera per a(0) e a(1).
Tuttavia in alcuni casi mi tornano risultati impossibili. Se per esempio l'equazione associata ha soluzioni complesse, esse saranno coniugate e del tipo
$R1=a+bi$ e $R2=a-bi$
allora ponendo n=0 nell'equazione (1) ottengo che $c+d=a(0)$, ma ponendo n=1 ottengo che $a(1)=a(c+d)+b(c-d)i$, ma ciò non è sempre possibile, infatti basta che a(1) sia diverso da $a(c+d)$ perché non vi siano soluzioni.
Il fatto è che nel libro ("Schede olimpiche " di Gobbino) è scritto che:
"se R1 e R2 sono diversi (anche se complessi) si ha che vale la (1) per certi valori di c e d, ottenuti proprio ponendo a sistema la (1) nei casi in cui n=0 e n=1"
Inoltre si afferma che "Nel caso in cui R1 e R2 siano numeri complessi è possibile scrivere una formula che contenga solo numeri reali, che avrà una forma del tipo
$a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$
dove A e B si ottengono facilmente dalla forma esponenziale, mentre K e J vanno in qualche modo (non specificato) ricavati da c e da d. Visto che non so trovare c e d, capite che ho un bel problema....
Risposte
Dici che in alcuni casi ti "tornano risultati impossibili", potresti fare un esempio? 
Ad esempio per la successione
$a(n)=2a(n-1)-4a(n-2)$ con $a(0)=4$ e $a(1)=2$ (Ricordo ancora che (n),(n-1) ecc sono pedeci!)
l'equazione associata dovrebbe essere $x^2-2x+4=0$ le soluzioni sono $R1=1+sqrt(3) i$ e $R2=1-sqrt(3) i$.
Ponendo $a(n)=cR1+dR2$ abbiamo che $c+d=a(0)=4$ e $c+d+sqrt(3)i (c-d)=a(1)=2$
Da ciò segue che c=d, cosi che la parte immaginaria si annulli, ma allora c+d dovrebbe essere contemporaneamente 4 (per n=0) e 2(per n=1).
E' questo che non mi torna....
$a(n)=2a(n-1)-4a(n-2)$ con $a(0)=4$ e $a(1)=2$ (Ricordo ancora che (n),(n-1) ecc sono pedeci!)
l'equazione associata dovrebbe essere $x^2-2x+4=0$ le soluzioni sono $R1=1+sqrt(3) i$ e $R2=1-sqrt(3) i$.
Ponendo $a(n)=cR1+dR2$ abbiamo che $c+d=a(0)=4$ e $c+d+sqrt(3)i (c-d)=a(1)=2$
Da ciò segue che c=d, cosi che la parte immaginaria si annulli, ma allora c+d dovrebbe essere contemporaneamente 4 (per n=0) e 2(per n=1).
E' questo che non mi torna....
Scusa ho scritto dei messaggi confusionari, li ho cancellati.
La mia domanda è: perché vuoi che c e d siano numeri reali?
La mia domanda è: perché vuoi che c e d siano numeri reali?
A dire il vero pensavo che i coefficienti c e d potessero essere SOLO reali, ma questa ipotesi non è avvalorata da nulla.
Comunque anche se fossero complessi seguendo il ragionamento del post precedente avremmo che c+d=2 e allo stesso tempo c+d=4, quindi il problema rimane.....
Poi sul libro di testo è scritto chiaramente che $a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$ è una possibile forma chiusa equivalente, e dice che i coefficienti K e J sono reali e si deducono a partire da c e da d, che però non riesco a ricavare...
Forse ho fatto qualche errore di calcolo o di concetto, ma proprio non riesco a vederlo
Comunque anche se fossero complessi seguendo il ragionamento del post precedente avremmo che c+d=2 e allo stesso tempo c+d=4, quindi il problema rimane.....
Poi sul libro di testo è scritto chiaramente che $a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$ è una possibile forma chiusa equivalente, e dice che i coefficienti K e J sono reali e si deducono a partire da c e da d, che però non riesco a ricavare...
Forse ho fatto qualche errore di calcolo o di concetto, ma proprio non riesco a vederlo
Hai l'equazione
$4+\sqrt{3} i (c-d) = 2$
Con semplici passaggi algebrici deduci che
[tex]c-d = -2/\sqrt{3}i[/tex]
$4+\sqrt{3} i (c-d) = 2$
Con semplici passaggi algebrici deduci che
[tex]c-d = -2/\sqrt{3}i[/tex]
L'errore concettuale che fai è questo:
da $a+ib = c+id$ deduci $a=c$ e $b=d$.
Questo lo puoi fare solo se $a,b,c,d$ sono reali. Cioè l'enunciato giusto è:
Se $a,b,c,d$ sono reali e $a+ib = c+id$ allora $a=c$ e $b=d$.
Se $a,b,c,d$ sono complessi (non necessariamente reali) questo ragionamento non lo puoi fare più. Semplicemente devi risolvere l'equazione come ho indicato nel post precedente.
da $a+ib = c+id$ deduci $a=c$ e $b=d$.
Questo lo puoi fare solo se $a,b,c,d$ sono reali. Cioè l'enunciato giusto è:
Se $a,b,c,d$ sono reali e $a+ib = c+id$ allora $a=c$ e $b=d$.
Se $a,b,c,d$ sono complessi (non necessariamente reali) questo ragionamento non lo puoi fare più. Semplicemente devi risolvere l'equazione come ho indicato nel post precedente.
Hai ragione, davo per scontato che fossero reali!
In questa maniera trovo che $c=2+ i/sqrt(3)$ e $d=2- i/sqrt(3)$
Sai per caso come trovare K e J in
$a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$
partendo da c e d?
Non dovrebbe essere difficile ricavarli, ma se lo sai a memoria mi risparmio un po' di calcoli, sennò lascia stare, ci penso io a fare il "lavoro sporco"
Grazie mille comunque
In questa maniera trovo che $c=2+ i/sqrt(3)$ e $d=2- i/sqrt(3)$
Sai per caso come trovare K e J in
$a(n)=A^n *(Kcos(Bn)+Jsin(Bn))$
partendo da c e d?
Non dovrebbe essere difficile ricavarli, ma se lo sai a memoria mi risparmio un po' di calcoli, sennò lascia stare, ci penso io a fare il "lavoro sporco"
Grazie mille comunque
Beh per trovare K e J mi pare che basti sostituire $n=0$ e $n=1$. Prego!
Scrivi $R_1 = r(cos(alpha)+i sin(alpha))$ e $R_2 = s(cos(beta)+i sin(beta))$ (rappresentazione polare). Hai
$a_n = c r^n (cos(alpha)+i sin(alpha))^n + d s^n (cos(beta)+i sin(beta))^n = $
$= c r^n (cos(n alpha) + i sin(n alpha)) + d s^n (cos(n beta) + i sin(n beta))$
Inoltre $r=s$ perché $R_1$, $R_2$ sono coniugati. Quindi $A=r=s$.
Da qui mi sembra che basti fare passaggi algebrici.
$a_n = c r^n (cos(alpha)+i sin(alpha))^n + d s^n (cos(beta)+i sin(beta))^n = $
$= c r^n (cos(n alpha) + i sin(n alpha)) + d s^n (cos(n beta) + i sin(n beta))$
Inoltre $r=s$ perché $R_1$, $R_2$ sono coniugati. Quindi $A=r=s$.
Da qui mi sembra che basti fare passaggi algebrici.
Perfetto, grazie mille ancora!
Ultima cosa, siccome sono nuovo non so bene come funziona, ma devo tipo chiudere la discussione ora che ho risolto il problema?
Ultima cosa, siccome sono nuovo non so bene come funziona, ma devo tipo chiudere la discussione ora che ho risolto il problema?
No no, tutto a posto! Ciao
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