Fonte per Automorfismi di un prodotto diretto
Siano $G,H$ due gruppi, indecomponibili (non so se questo termine esiste in italiano, indecomposable vuol dire che non possono essere scritti come prodotto diretto), a centro banale.
Leggo su Wikipedia che se $G$ e $H$ sono isomorfi allora
\[
Aut(G\times H) \simeq Aut(G)\ w \ \mathbb{Z}_2
\]
dove $w$ e' il prodotto intrecciato (il comando \wreath fa uscire cose strane); in una notazione meno criptica questo si puo' riscrivere come \(Aut(G\times H) \simeq (Aut(G) \times Aut(H)) \rtimes \mathbb{Z}_2\) dove $\mathbb{Z}_2$ agisce scambiando $Aut(G)$ e $Aut(H)$ (che sono isomorfi, quindi piu' precisamente agisce applicando un fissato isomorfismo tra $Aut(G)$ e $Aut(H)$; tutti gli isomorfismi sono coniugati a meno di $Aut(G) \times Aut(H)$).
Piu' in generale, se $G_1,...,G_n$ sono indecomponibili, a centro banale e isomorfi, allora
\[
Aut(G_1 \times ... \times G_n) \simeq Aut(G_1) \ w \ \mathfrak{S}_n = (Aut(G_1) \times ... \times Aut(G_n)) \rtimes \mathfrak{S}_n,
\]
dove $\mathfrak{S}_n$ e' il gruppo di permutazione su $n$ oggetti.
Ancora piu' in generale, se solo alcuni dei $G_j$ sono isomorfi, immagino che l'azione sia data non dall'intero $\mathfrak{S}_n$ ma da un qualche suo sottogruppo (che permuta solo i sottoinsiemi di $G_j$ isomorfi) - questa ultima generalizzazione tuttavia non mi interessa granche'.
Il fatto generale con l'intero $\mathfrak{S}_n$ mi torna inuitivamente, ma sto cercando una referenza precisa (so dimostrare che quel gruppo e' contenuto nel gruppo degli automorfismi, ma non che tutti gli automorfismi sono la' dentro). Tra i testi in bibliografia, wikipedia riporta il Robinson (che mi sembrerebbe l'unico tra quelli citati che puo' contenere una dimostrazione di questo tipo), ma non possiedo una copia cartacea e "sfogliando" il pdf non ho trovato nulla.
Grazie
Leggo su Wikipedia che se $G$ e $H$ sono isomorfi allora
\[
Aut(G\times H) \simeq Aut(G)\ w \ \mathbb{Z}_2
\]
dove $w$ e' il prodotto intrecciato (il comando \wreath fa uscire cose strane); in una notazione meno criptica questo si puo' riscrivere come \(Aut(G\times H) \simeq (Aut(G) \times Aut(H)) \rtimes \mathbb{Z}_2\) dove $\mathbb{Z}_2$ agisce scambiando $Aut(G)$ e $Aut(H)$ (che sono isomorfi, quindi piu' precisamente agisce applicando un fissato isomorfismo tra $Aut(G)$ e $Aut(H)$; tutti gli isomorfismi sono coniugati a meno di $Aut(G) \times Aut(H)$).
Piu' in generale, se $G_1,...,G_n$ sono indecomponibili, a centro banale e isomorfi, allora
\[
Aut(G_1 \times ... \times G_n) \simeq Aut(G_1) \ w \ \mathfrak{S}_n = (Aut(G_1) \times ... \times Aut(G_n)) \rtimes \mathfrak{S}_n,
\]
dove $\mathfrak{S}_n$ e' il gruppo di permutazione su $n$ oggetti.
Ancora piu' in generale, se solo alcuni dei $G_j$ sono isomorfi, immagino che l'azione sia data non dall'intero $\mathfrak{S}_n$ ma da un qualche suo sottogruppo (che permuta solo i sottoinsiemi di $G_j$ isomorfi) - questa ultima generalizzazione tuttavia non mi interessa granche'.
Il fatto generale con l'intero $\mathfrak{S}_n$ mi torna inuitivamente, ma sto cercando una referenza precisa (so dimostrare che quel gruppo e' contenuto nel gruppo degli automorfismi, ma non che tutti gli automorfismi sono la' dentro). Tra i testi in bibliografia, wikipedia riporta il Robinson (che mi sembrerebbe l'unico tra quelli citati che puo' contenere una dimostrazione di questo tipo), ma non possiedo una copia cartacea e "sfogliando" il pdf non ho trovato nulla.
Grazie
Risposte
"Pappappero":Sì, esiste.
Siano $ G,H $ due gruppi, indecomponibili (non so se questo termine esiste in italiano, indecomposable vuol dire che non possono essere scritti come prodotto diretto)...
...ma non ho voglia a quest'ora di prendere il Robinson e cercare un tale risultato; che tra l'altro ha una pessima notazione in fatto di prodotti semidiretti ed intrecciati.
Robinson 3.3.20 (pagina 87) (cf. 3.3.8, il teorema di Krull - Remak - Schmidt). Ma lì parla di CR-groups (prodotti diretti di gruppi semplici). Non vorrei che Wikipedia stesse spacciando risultati falsi. I CR-groups sono relativamente trattabili, uno compone proiezioni con coproiezioni e trova che i fattori sono permutati tra loro, se vuoi ti scrivo l'argomento per i CR.
Quanto ai centreless indecomposable ci devo pensare un po'...
Quanto ai centreless indecomposable ci devo pensare un po'...
"j18eos":Non mi pare, il Robinson usa le notazioni standard, [tex]\rtimes[/tex] e [tex]\wr[/tex].
il Robinson [...] ha una pessima notazione in fatto di prodotti semidiretti ed intrecciati.
@Martino Sì, ma non indica l'azione di gruppo "in gioco nel campo"...
Mi sento un webcronista sportivo.
Mi sento un webcronista sportivo.
"j18eos":Puoi fare un esempio?
@Martino Sì, ma non indica l'azione di gruppo "in gioco nel campo"...
Ma l'azione in questi casi e' sempre quella ovvia. A volte ho visto cose del tipo \(G \rtimes_\phi H\) per indicare una particolare azione data da $\phi : H \to Aut(G)$, ma in questi casi mi sembra inutilmente pesante.
Grazie Martino per la referenza. In realta' io ho un prodotto di $PSL$, e il caso con gruppi semplici dovrebbe essere sufficiente. Grazie.
Grazie Martino per la referenza. In realta' io ho un prodotto di $PSL$, e il caso con gruppi semplici dovrebbe essere sufficiente. Grazie.
@Martino Un pò tutti i prodotti semidiretti? 
...da quel libro non li ho mai capiti, oltre a dover chiedere lumi sulle notationi di non ricordo cosa; croce sul cuore! 
...da quel libro non li ho mai capiti, oltre a dover chiedere lumi sulle notationi di non ricordo cosa; croce sul cuore!
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