Fondamenti mesh per elementi finiti
Ola a tutti...lunedì ho un esame che verte sui fondamenti teorici degli elementi finiti, e volevo proporvi un dubbio!
Per quanto riguarda la mesh, gli elementi finiti si basano su elementi triangolari perchè sono isoparametrici e garantiscono la continuità della rappresentazione fondata sull'interpolazione bilineare a tratti ($C^0$). Gli elementi quadrilateri c'è stato detto che non vengono scelti (apparte per gli svantaggi di forma) perchè necessitano di essere trasformati anticipatamente (tramite cambio di coordinate) in un quadrato, perchè le funzioni rappresentanti (nate come bilineari) diventerebbero biquadratiche!
Qualcuno mi può confermare il motivo che ho pensato per cui succede così? Cioè, secondo me questo succede a causa dello jacobiano del cambio di coordinate che, immesso nella formula d'integrazione del funzionale caratterizzante gli elementi finiti, tramuterebbe la rappresentazione bilineare in biquadratica, necessitando così di 3 condizioni al contorno anzichè 2. Quindi non basterebbero più i due valori sui nodi da interpolare come condizioni, ma la rappresentazione locale dipenderebbe anche dai nodi circostanti. Quindi 2 elementi che concorrono sullo stesso lato, possono ottenere interpolazioni differenti (per questa dipendenza dai nodi circostanti) e non sarebbe garantita la continuità globale ($C^(-1)$)
Io me la sono spiegata così...se qualcuno ne sa di questo argomento, e riesce a darmi conferma, merita un BRAVO!!
Ciao ciao!!
Per quanto riguarda la mesh, gli elementi finiti si basano su elementi triangolari perchè sono isoparametrici e garantiscono la continuità della rappresentazione fondata sull'interpolazione bilineare a tratti ($C^0$). Gli elementi quadrilateri c'è stato detto che non vengono scelti (apparte per gli svantaggi di forma) perchè necessitano di essere trasformati anticipatamente (tramite cambio di coordinate) in un quadrato, perchè le funzioni rappresentanti (nate come bilineari) diventerebbero biquadratiche!
Qualcuno mi può confermare il motivo che ho pensato per cui succede così? Cioè, secondo me questo succede a causa dello jacobiano del cambio di coordinate che, immesso nella formula d'integrazione del funzionale caratterizzante gli elementi finiti, tramuterebbe la rappresentazione bilineare in biquadratica, necessitando così di 3 condizioni al contorno anzichè 2. Quindi non basterebbero più i due valori sui nodi da interpolare come condizioni, ma la rappresentazione locale dipenderebbe anche dai nodi circostanti. Quindi 2 elementi che concorrono sullo stesso lato, possono ottenere interpolazioni differenti (per questa dipendenza dai nodi circostanti) e non sarebbe garantita la continuità globale ($C^(-1)$)
Io me la sono spiegata così...se qualcuno ne sa di questo argomento, e riesce a darmi conferma, merita un BRAVO!!
Ciao ciao!!
Risposte
Io non so darti la spiegazione che tu cerchi, però avendo un po usato software di FEM - analysis mi sembra un po strano che ti abbiano detto che gli elementi quadrangolari si usano poco, anzi nel software che ho usato erano tra le tipologie proposte, ad esempio anche per costruire oggetti assialsimmetrici etc etc
Eh, così mi è stato detto..anche se in realtà, c'ha detto ancge che la convergenza del metodo non è particolarmente toccata da questo...solo la rappresentazione globale finali è discontinua fuori dai nodi delala mesh (e questo non è neppure detto che succeda sempre)!
Ah ecco, infatti il problema succede per el. quadrandolari cenerici, non per rettangoli o quadrati! Probabilmente lui si riferiva ad applicazioni generiche...
Buh...cmq grz per l'apporto. Mi son quasi convinto della mia idea nel frattempo
Ciao ciao
Ah ecco, infatti il problema succede per el. quadrandolari cenerici, non per rettangoli o quadrati! Probabilmente lui si riferiva ad applicazioni generiche...
Buh...cmq grz per l'apporto. Mi son quasi convinto della mia idea nel frattempo
Ciao ciao
Per la cronaca, ho capito a mie spese che l'avevo pensata sbagliata 
L'elemento triangolare è caratterizzato da un'approssimazione del tipo:
$y=a+bx+cy$
e avendo tre punti da imporre, si trova il piano passante per essi.
L'elemento quadrangolare generico ha, invece, come approssimazione:
$y=a+bx+cy+dxy$
con i quattro valori assunti sugli spigoli. Questo implica che, se un lato $ef$ della figura $efgh$ dipende sia da $x$ che da $y$, allora y sarà quadratica nonostante l'impostazione bi-lineare.
Questa quadraticità non assicura la stessa rappresentazione sul lato $ef$ da parte dei due quadrangoli che vi concorrono!!!! Per questo la rappresentazione è in generale $C^-1$! Nela caso di quadrangoli con lati paralleli-perpendicolari agli assi $x$ e $y$ il problema non si pone perchè il termine $dxy$ rimane lineare!
Bye!
L'elemento triangolare è caratterizzato da un'approssimazione del tipo:
$y=a+bx+cy$
e avendo tre punti da imporre, si trova il piano passante per essi.
L'elemento quadrangolare generico ha, invece, come approssimazione:
$y=a+bx+cy+dxy$
con i quattro valori assunti sugli spigoli. Questo implica che, se un lato $ef$ della figura $efgh$ dipende sia da $x$ che da $y$, allora y sarà quadratica nonostante l'impostazione bi-lineare.
Questa quadraticità non assicura la stessa rappresentazione sul lato $ef$ da parte dei due quadrangoli che vi concorrono!!!! Per questo la rappresentazione è in generale $C^-1$! Nela caso di quadrangoli con lati paralleli-perpendicolari agli assi $x$ e $y$ il problema non si pone perchè il termine $dxy$ rimane lineare!
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