Fondamenti della matematica
salve a tutti... volevo fare una domanda insolita... sapete dirmi come è strutturata tutta la matematica??
a partire dalla teoria degli insiemi (che penso (!) sia la generalizzazione massima della matematica nonchè la sua base fondamentale) e dai suoi assiomi, quali sono in ordine gli altri settori della matematica sui quali si basano quelli successivi e così via?
scusate la confusione, ma non trovo miglior modo di esprimermi
in particolare vorrei sapere che posto occupano l'algebra lineare, gli spazi vettoriali, gli spazi euclidei, le matrici...
merci!
a partire dalla teoria degli insiemi (che penso (!) sia la generalizzazione massima della matematica nonchè la sua base fondamentale) e dai suoi assiomi, quali sono in ordine gli altri settori della matematica sui quali si basano quelli successivi e così via?
scusate la confusione, ma non trovo miglior modo di esprimermi
in particolare vorrei sapere che posto occupano l'algebra lineare, gli spazi vettoriali, gli spazi euclidei, le matrici...
merci!
Risposte
Provo a rispondere anche se la tua domanda non è facile (bisognerebbe soffermarsi su concetti come consistenza di sistemi assiomatici, e altre cose molto difficili in cui è difficile che uno come me possa addentrarsi senza sparare castronate enormi. Per fare un esempio: il paradosso di Russell ha più di un secolo di storia. Prendendo per buone le soluzioni sviluppate per aggirarlo, nulla ci assicura che prima o poi qualcuno non trovi un altro paradosso che rada al suolo i fondamenti di tutta la matematica...)
La base di tutto, in ogni caso, direi che è un misto di logica e di teoria degli insiemi. Dobbiamo supporre di avere in mente i significati dei connettivi e dei quantificatori logici, e del concetto di insieme (avendo scelto una delle diecimila assiomatizzazioni esistenti). Partire da livelli più bassi di questi è difficile, credo.
Da qui si dovrebbe poter definire l'aritmetica. Di solito i numeri naturali vengono definiti a partire dagli insiemi... lo zero è l'insieme vuoto, l'uno è l'insieme che contiene solo l'insieme vuoto, il due è l'insieme che contiene l'uno e lo zero, eccetera.
(piccola curiosità notazionale: se è vero che l'uno si definisce in questa maniera, allora quando scriviamo ad esempio Z-{0} per indicare gli interi non nulli, a rigor di logica dovremmo poter scrivere anche Z-1...!). Prima di andare avanti, è necessario definire le relazioni in un insieme (come sottoinsiemi del prodotto cartesiano dell'insieme in questione per se stesso), e funzioni (date, ad esempio, come insiemi di tre sottoinsiemi, che definiscano rispettivamente il dominio, il codominio, e la regola che associa rispettivi elementi.)
A partire dai numeri naturali N, gli interi Z si definiscono a partire dal quoziente, rispetto ad opportune relazioni di equivalenza, dell'insieme delle coppie dei naturali. Analogamente i razionali Q si definiscono a partire dagli interi.
Il passo successivo è definire i reali, il che è un passaggio un po' più drastico. Non dovrebbe stupire il fatto che una definizione rigorosa dei reali è stata data solo nell'ottocento (Mérai, Weierstrass, e poi Dedekind con le sue famose "sezioni").
Da qui in poi possiamo considerarci "in possesso" dell'insieme R dei reali. Da qui il passo per ottenere i numeri complessi è abbastanza tranquillo, e ricarla quello fatto prima per passare da N a Z, e da Z a Q.
L'algebra, nella sua forma più astratta, procede parallelamente a tutto questo. Gli algebristi di oggi, quando parlano di gruppi, anelli e campi nella loro essenza più generalizzata, non hanno bisogno di sapere come siano fatti gli insiemi numerici che abbiamo visto. Tutto quello che fanno è definire un insieme dotato di una o più operazioni (tutti concetti che si definiscono facilmente se si prendono per buoni i fondamenti insiemistici), dotate di particolari proprietà (espresse in termini di concetti più primitivi). Che poi tale struttura possa risultare simile (o uguale, o meglio isomorfa) a qualche insieme "famoso", non è altro a mio parere che un fatto contingente. Contingenza forse non fortuita (se abbiamo sentito il bisogno di definire i numeri interi molto prima del bisogno di definire i campi ciclotomici, un motivo ci sarà), ma praticamente irrilevante se ci limitiamo a considerare quali siano i concetti da cui partire se vogliamo parlare di una certa cosa. Lo so che non è chiaro, ma lascia stare... probabilmente domani non sarà chiaro nemmeno a me.
L'algebra lineare fa uso del concetto di vettore (ossia, in soldoni, di insieme ordinato, e per questo dovrebbe esserci un assioma apposta nelle comuni assiomatizzazioni della teoria degli insiemi) e di matrice (come la definiamo? vettore ordinato di vettori ordinati?). Gli spazi vettoriali hanno anche loro i loro bravi assiomi, che stanno alla base di concetti più avanzati come spazi euclidei (spazi vettoriali ampliati col prodotto eculideo), affini (spazi vettoriali ampliati col concetto di traslazione) etc.
Quello che credo, e che vorrei sottolineare, è che non necessariamente le varie discipline seguono una correlazione a catena. In termini formali: se c'è un ordine nello sviluppo delle branche della matematica, tale ordine non è necessariamente totale.
La base di tutto, in ogni caso, direi che è un misto di logica e di teoria degli insiemi. Dobbiamo supporre di avere in mente i significati dei connettivi e dei quantificatori logici, e del concetto di insieme (avendo scelto una delle diecimila assiomatizzazioni esistenti). Partire da livelli più bassi di questi è difficile, credo.
Da qui si dovrebbe poter definire l'aritmetica. Di solito i numeri naturali vengono definiti a partire dagli insiemi... lo zero è l'insieme vuoto, l'uno è l'insieme che contiene solo l'insieme vuoto, il due è l'insieme che contiene l'uno e lo zero, eccetera.
(piccola curiosità notazionale: se è vero che l'uno si definisce in questa maniera, allora quando scriviamo ad esempio Z-{0} per indicare gli interi non nulli, a rigor di logica dovremmo poter scrivere anche Z-1...!). Prima di andare avanti, è necessario definire le relazioni in un insieme (come sottoinsiemi del prodotto cartesiano dell'insieme in questione per se stesso), e funzioni (date, ad esempio, come insiemi di tre sottoinsiemi, che definiscano rispettivamente il dominio, il codominio, e la regola che associa rispettivi elementi.)
A partire dai numeri naturali N, gli interi Z si definiscono a partire dal quoziente, rispetto ad opportune relazioni di equivalenza, dell'insieme delle coppie dei naturali. Analogamente i razionali Q si definiscono a partire dagli interi.
Il passo successivo è definire i reali, il che è un passaggio un po' più drastico. Non dovrebbe stupire il fatto che una definizione rigorosa dei reali è stata data solo nell'ottocento (Mérai, Weierstrass, e poi Dedekind con le sue famose "sezioni").
Da qui in poi possiamo considerarci "in possesso" dell'insieme R dei reali. Da qui il passo per ottenere i numeri complessi è abbastanza tranquillo, e ricarla quello fatto prima per passare da N a Z, e da Z a Q.
L'algebra, nella sua forma più astratta, procede parallelamente a tutto questo. Gli algebristi di oggi, quando parlano di gruppi, anelli e campi nella loro essenza più generalizzata, non hanno bisogno di sapere come siano fatti gli insiemi numerici che abbiamo visto. Tutto quello che fanno è definire un insieme dotato di una o più operazioni (tutti concetti che si definiscono facilmente se si prendono per buoni i fondamenti insiemistici), dotate di particolari proprietà (espresse in termini di concetti più primitivi). Che poi tale struttura possa risultare simile (o uguale, o meglio isomorfa) a qualche insieme "famoso", non è altro a mio parere che un fatto contingente. Contingenza forse non fortuita (se abbiamo sentito il bisogno di definire i numeri interi molto prima del bisogno di definire i campi ciclotomici, un motivo ci sarà), ma praticamente irrilevante se ci limitiamo a considerare quali siano i concetti da cui partire se vogliamo parlare di una certa cosa. Lo so che non è chiaro, ma lascia stare... probabilmente domani non sarà chiaro nemmeno a me.
L'algebra lineare fa uso del concetto di vettore (ossia, in soldoni, di insieme ordinato, e per questo dovrebbe esserci un assioma apposta nelle comuni assiomatizzazioni della teoria degli insiemi) e di matrice (come la definiamo? vettore ordinato di vettori ordinati?). Gli spazi vettoriali hanno anche loro i loro bravi assiomi, che stanno alla base di concetti più avanzati come spazi euclidei (spazi vettoriali ampliati col prodotto eculideo), affini (spazi vettoriali ampliati col concetto di traslazione) etc.
Quello che credo, e che vorrei sottolineare, è che non necessariamente le varie discipline seguono una correlazione a catena. In termini formali: se c'è un ordine nello sviluppo delle branche della matematica, tale ordine non è necessariamente totale.
beh, almeno credo di aver colto il senso generale della tua risposta...
è da sempre una mia fissazione quella di catalogare tutto in schemi e ordini ben precisi, la risposta mi ha chiarito molto
mille grazie!
è da sempre una mia fissazione quella di catalogare tutto in schemi e ordini ben precisi, la risposta mi ha chiarito molto
mille grazie!
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