Fibered products and co-products in SET and Ab
ciao
Per smaltire i postumi delle feste, mi sono messo a giocherellare con uno dei miei regali di Natale : "Algebra: chapter 0" di Aluffi.
Per semplicità e velocità mi rivolgerò a un ipotetico lettore che abbia sotto mano il libro[nota]Non c'è bisogno di andare in biblioteca o comprarlo come ho fatto io, diciamo che si può """"consultare"""" anche in rete[/nota] ( o che non ne abbia bisogno). Faccio riferimento agli esercizi 5.12 cap I pag 39 e 3.9 cap II pag 63 in cui mi si chiede di definire i fibered products e coproducts in generale e poi nello specifico per le categorie $SET$ degli insiemi e $Ab$ dei gruppi abeliani.
Parto subito con le costruzioni:
Fibered Product in $SET$ :
Chiamiamo $SET_(alpha,beta)$ la fibered category definita sopra $SET$, con $alpha:A rarr C $ e $ beta: B rarr C $ le due funzioni fissate per costruire la categoria nel modo che conosciamo, ( vedi esempio 3.10 cap I pag 25 )
Definisco due relazioni di equivalenza su $ A $ e $ B $ nel seguente modo:
$~ _alpha$ t.c. $ a_1 ~ _alpha a_2 $ $hArr$ $alpha (a_1)=alpha (a_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ b_1~ _beta b_2 $ $hArr$ $ beta (b_1)=beta (b_2) $
A questo punto definisco due funzioni:
$ f_(~ _alpha) : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr A $ t.c. $ f_(~ _alpha) ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(a) $ con $ bar(a) $ scelto come nostro rappresentante preferito di $ [a]_(~ _alpha) $
$ f_(~ _beta) : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr B $ t.c. $ f_(~ _beta) ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(b) $
A questo punto affermo che il dato di $ ( A/~ _alpha xx B/~ _beta , f_(~ _alpha), f_(~ _beta) , alpha, beta ) $ è un oggetto finale nella categoria $ SET_(alpha,beta) $ , ovvero per ogni diagramma $ ( Z, g, h, alpha, beta) $ esiste ed è unico un morfismo $ sigma : Z rarr A/~ _alpha xx B/~ _beta $ che rende commutativo il diagramma ottenuto dalla composizione.
Per costruire $ sigma $ , definisco prima due funzioni $ pi_alpha : A rarr A/(~ _alpha) $ t.c. $ pi_alpha (a) = [a]_(~ _alpha) $ e $ pi_beta $ allo stesso modo, e pongo $ sigma(z) = ( pi_alpha(g(z)), pi_beta(h(z))) $
$ sigma $ è ovviamente ben definita e rende commutativo il diagramma visto che:
e da questo segue banalmente anche l'unicità di $sigma$.
Fibered co-product in $SET$ :
Chiamiamo $SET^(alpha,beta)$ la co-fibered category definita sopra $SET$, con $alpha:C rarr A $ e $ beta: C rarr B $ le due funzioni fissate per costruire la categoria nel modo che conosciamo, ( vedi di nuovo esempio 3.10 cap I pag 25 ) .
Definisco due relazioni di equivalenza su $ C $ in questo modo:
$ ~ _alpha $ : $ c_1 ~ _alpha c_2 hArr alpha(c_1)=alpha(c_2) $ e $ ~ _beta$ in modo equivalente.
Chiamo $ C/~ _alpha U C/~ _beta $ l' unione disgiunta tra i due insiemi.
Definisco ora due funzioni :
$f_(~ _alpha):A rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _alpha)(a)= [c]_(~ _alpha) $
$f_(~ _beta):B rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _beta)(b)= [c]_(~ _beta) $
A questo punto dico che il dato di $ ( C, alpha, beta,f_(~ _alpha),f_(~ _beta), C/~ _alpha U C/~ _beta) $ è un oggetto iniziale della categoria $SET^(alpha,beta)$ , ovvero per ogni diagramma $ (C, alpha, beta, g, h, Z) $ esiste ed è unico un morfismo $sigma:( C, alpha, beta,f_(~ _alpha),f_(~ _beta), C/~ _alpha U C/~ _beta) rarr (C, alpha, beta, g, h, Z) $ che li compone in un diagramma commutativo.
Infatti $ sigma:C/~ _alpha U C/~ _beta rarr Z $ tale che $ sigma ([c]_(~ _alpha))=g(alpha(c)) $ e $sigma ([c]_(~ _beta))=h(beta(c))$ è ben definita e rende commutativo il diagramma visto che:
$ sigma(f_(~ _alpha)(alpha(c)))=sigma ([c]_(~ _alpha))=g(alpha(c))=h(beta(c))=sigma([c]_(~ _beta))=sigma(f_(~ _beta)(beta(c)))$
Fibered product in $Ab$ :
Sia $ Ab_(alpha,beta) $ la fibered category definita come sopra con la differenza che gli oggetti sono gruppi commutativi e le frecce sono omomorfismi di gruppi.
Definisco due relazioni di equivalenza sui gruppi commutativi $ A $ e $ B $ nel seguente modo:
$~ _alpha$ t.c. $ a_1 ~ _alpha a_2 $ $hArr$ $alpha (a_1)=alpha (a_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ b_1~ _beta b_2 $ $hArr$ $ beta (b_1)=beta (b_2) $
e due omomorfismi:
$ phi: A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr A $ t.c. $ phi ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(a) $
$ psi : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr B $ t.c. $ psi( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(b) $
Mostro che sono effettivamente omomorfismi di gruppi:
$ phi (( [a_1]_(~ _alpha), [b_1]_( ~ _beta ))\cdot( [a_2]_(~ _alpha), [b_2]_( ~ _beta )))= phi(( [a_1 a_2]_(~ _alpha), [b_1 b_2]_( ~ _beta ) ) = bar(a_1 a_2 )= phi (( [a_1]_(~ _alpha), [b_1]_( ~ _beta )))phi(( [a_2]_(~ _alpha), [b_2]_( ~ _beta )))$
(per $psi$ vale ovviamente lo stesso)
Quindi come al solito, ho che esiste ed è unico un omomorfismo $sigma$ che collega in un nuovo diagramma commutativo i diagrammi dati da $ (Z, f, g, alpha, beta, C) $ e $ (A/~ _alpha xx B/~ _beta, phi, psi, alpha, beta, C)$ , per ogni $Z$ .
Tale $ sigma:Z rarr A/~ _alpha xx B/~ _beta $ è dato da: $ sigma(z)=( ( [f(z)]_(~ _alpha), [g(z)]_( ~ _beta )))$ ed è omomorfismo visto che
Il fatto che renda commutativo il diagramma è banale visto che la costruzione è identica a quella sopra per $SET$.
Fibered co-product in $Ab$:
Sia $C$ gruppo abeliano e $alpha:C rarr A$ $beta: C rarr B$ omomorfismi e $Ab^(alpha, beta)$ la co-fibered category.
$~ _alpha$ t.c. $ c_1 ~ _alpha c_2 $ $hArr$ $alpha (c_1)=alpha (c_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ c_1~ _beta c_2 $ $hArr$ $ beta (c_1)=beta (c_2) $ le due solite relazioni su $C$
Definisco due omomorfismi $phi: A rarr C/~ _alpha xx C/~ _beta $ , $ psi:B rarr C/~ _alpha xx C/~ _beta $ in questo modo:
$ phi(a)=([c]_a, e_(C/~ _beta))$ con $[c]_a={c: alpha(c)=a} $ e $psi(b)=(e_(C/~ _alpha),[c]_b)$ con $[c]_b={c: beta(c)=b}$. $ phi$ ( e allo stesso modo $psi$ ) è omomorfismo visto che lo è $ alpha$ e che $e_(C/~ _alpha)$ è l'elemento neutro di $C/~ _alpha$ .
$C/~ _alpha xx C/~ _beta$ è oggetto iniziale della categoria grazie al morfismo $sigma: C/~ _alpha xx C/~ _beta rarr Z $ tale che $sigma([c]_a, [c]_b)= f(a)g(b) $ ( con $f:A rarr Z $ , $g: B rarr Z $ omomorfismi ) che è un omomorfismo di gruppi visto che:
Se siete riusciti a sciropparvi tutta questa roba vorrei sapere se le costruzioni secondo voi sono corrette e se ci sia un modo migliore/più semplice/ più naturale per definire questi oggetti.
Per smaltire i postumi delle feste, mi sono messo a giocherellare con uno dei miei regali di Natale : "Algebra: chapter 0" di Aluffi.
Per semplicità e velocità mi rivolgerò a un ipotetico lettore che abbia sotto mano il libro[nota]Non c'è bisogno di andare in biblioteca o comprarlo come ho fatto io, diciamo che si può """"consultare"""" anche in rete[/nota] ( o che non ne abbia bisogno). Faccio riferimento agli esercizi 5.12 cap I pag 39 e 3.9 cap II pag 63 in cui mi si chiede di definire i fibered products e coproducts in generale e poi nello specifico per le categorie $SET$ degli insiemi e $Ab$ dei gruppi abeliani.
Parto subito con le costruzioni:
Fibered Product in $SET$ :
Chiamiamo $SET_(alpha,beta)$ la fibered category definita sopra $SET$, con $alpha:A rarr C $ e $ beta: B rarr C $ le due funzioni fissate per costruire la categoria nel modo che conosciamo, ( vedi esempio 3.10 cap I pag 25 )
Definisco due relazioni di equivalenza su $ A $ e $ B $ nel seguente modo:
$~ _alpha$ t.c. $ a_1 ~ _alpha a_2 $ $hArr$ $alpha (a_1)=alpha (a_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ b_1~ _beta b_2 $ $hArr$ $ beta (b_1)=beta (b_2) $
A questo punto definisco due funzioni:
$ f_(~ _alpha) : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr A $ t.c. $ f_(~ _alpha) ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(a) $ con $ bar(a) $ scelto come nostro rappresentante preferito di $ [a]_(~ _alpha) $
$ f_(~ _beta) : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr B $ t.c. $ f_(~ _beta) ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(b) $
A questo punto affermo che il dato di $ ( A/~ _alpha xx B/~ _beta , f_(~ _alpha), f_(~ _beta) , alpha, beta ) $ è un oggetto finale nella categoria $ SET_(alpha,beta) $ , ovvero per ogni diagramma $ ( Z, g, h, alpha, beta) $ esiste ed è unico un morfismo $ sigma : Z rarr A/~ _alpha xx B/~ _beta $ che rende commutativo il diagramma ottenuto dalla composizione.
Per costruire $ sigma $ , definisco prima due funzioni $ pi_alpha : A rarr A/(~ _alpha) $ t.c. $ pi_alpha (a) = [a]_(~ _alpha) $ e $ pi_beta $ allo stesso modo, e pongo $ sigma(z) = ( pi_alpha(g(z)), pi_beta(h(z))) $
$ sigma $ è ovviamente ben definita e rende commutativo il diagramma visto che:
$ alpha(f_(~ _alpha)(sigma(z)))=alpha(f_(~ _alpha)(( pi_alpha(g(z)))= alpha ([g(z)]_(~ _alpha))= alpha(g(z))=beta((h(z)))=beta(f_(~ _beta)([h(z)]_( ~ _beta ))=beta(f_(~ _beta)(pi_beta(h(z))))=beta(f_(~ _beta)(sigma(z)))$
e da questo segue banalmente anche l'unicità di $sigma$.
Fibered co-product in $SET$ :
Chiamiamo $SET^(alpha,beta)$ la co-fibered category definita sopra $SET$, con $alpha:C rarr A $ e $ beta: C rarr B $ le due funzioni fissate per costruire la categoria nel modo che conosciamo, ( vedi di nuovo esempio 3.10 cap I pag 25 ) .
Definisco due relazioni di equivalenza su $ C $ in questo modo:
$ ~ _alpha $ : $ c_1 ~ _alpha c_2 hArr alpha(c_1)=alpha(c_2) $ e $ ~ _beta$ in modo equivalente.
Chiamo $ C/~ _alpha U C/~ _beta $ l' unione disgiunta tra i due insiemi.
Definisco ora due funzioni :
$f_(~ _alpha):A rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _alpha)(a)= [c]_(~ _alpha) $
$f_(~ _beta):B rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _beta)(b)= [c]_(~ _beta) $
A questo punto dico che il dato di $ ( C, alpha, beta,f_(~ _alpha),f_(~ _beta), C/~ _alpha U C/~ _beta) $ è un oggetto iniziale della categoria $SET^(alpha,beta)$ , ovvero per ogni diagramma $ (C, alpha, beta, g, h, Z) $ esiste ed è unico un morfismo $sigma:( C, alpha, beta,f_(~ _alpha),f_(~ _beta), C/~ _alpha U C/~ _beta) rarr (C, alpha, beta, g, h, Z) $ che li compone in un diagramma commutativo.
Infatti $ sigma:C/~ _alpha U C/~ _beta rarr Z $ tale che $ sigma ([c]_(~ _alpha))=g(alpha(c)) $ e $sigma ([c]_(~ _beta))=h(beta(c))$ è ben definita e rende commutativo il diagramma visto che:
$ sigma(f_(~ _alpha)(alpha(c)))=sigma ([c]_(~ _alpha))=g(alpha(c))=h(beta(c))=sigma([c]_(~ _beta))=sigma(f_(~ _beta)(beta(c)))$
Fibered product in $Ab$ :
Sia $ Ab_(alpha,beta) $ la fibered category definita come sopra con la differenza che gli oggetti sono gruppi commutativi e le frecce sono omomorfismi di gruppi.
Definisco due relazioni di equivalenza sui gruppi commutativi $ A $ e $ B $ nel seguente modo:
$~ _alpha$ t.c. $ a_1 ~ _alpha a_2 $ $hArr$ $alpha (a_1)=alpha (a_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ b_1~ _beta b_2 $ $hArr$ $ beta (b_1)=beta (b_2) $
e due omomorfismi:
$ phi: A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr A $ t.c. $ phi ( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(a) $
$ psi : A/~ _alpha xx B/~ _beta rarr B $ t.c. $ psi( ( [a]_(~ _alpha), _( ~ _beta )) ) = bar(b) $
Mostro che sono effettivamente omomorfismi di gruppi:
$ phi (( [a_1]_(~ _alpha), [b_1]_( ~ _beta ))\cdot( [a_2]_(~ _alpha), [b_2]_( ~ _beta )))= phi(( [a_1 a_2]_(~ _alpha), [b_1 b_2]_( ~ _beta ) ) = bar(a_1 a_2 )= phi (( [a_1]_(~ _alpha), [b_1]_( ~ _beta )))phi(( [a_2]_(~ _alpha), [b_2]_( ~ _beta )))$
(per $psi$ vale ovviamente lo stesso)
Quindi come al solito, ho che esiste ed è unico un omomorfismo $sigma$ che collega in un nuovo diagramma commutativo i diagrammi dati da $ (Z, f, g, alpha, beta, C) $ e $ (A/~ _alpha xx B/~ _beta, phi, psi, alpha, beta, C)$ , per ogni $Z$ .
Tale $ sigma:Z rarr A/~ _alpha xx B/~ _beta $ è dato da: $ sigma(z)=( ( [f(z)]_(~ _alpha), [g(z)]_( ~ _beta )))$ ed è omomorfismo visto che
$sigma(z_1 z_2)=(( [f(z_1 z_2)]_(~ _alpha), [g(z_1 z_2)]_( ~ _beta )))=(( [f(z_1]_(~ _alpha)\cdot[f(z_2)]_( ~ _alpha )) ,( [g(z_1]_(~ _beta)\cdot[g(z_2)]_( ~ _beta )))= (( [f(z_1)]_(~ _alpha), [g(z_1)]_( ~ _beta ))\cdot (( [f(z_2)]_(~ _alpha), [g(z_2)]_( ~ _beta )))= sigma(z_1)sigma(z_2)$
. Il fatto che renda commutativo il diagramma è banale visto che la costruzione è identica a quella sopra per $SET$.
Fibered co-product in $Ab$:
Sia $C$ gruppo abeliano e $alpha:C rarr A$ $beta: C rarr B$ omomorfismi e $Ab^(alpha, beta)$ la co-fibered category.
$~ _alpha$ t.c. $ c_1 ~ _alpha c_2 $ $hArr$ $alpha (c_1)=alpha (c_2)$
$ ~ _beta $ t.c $ c_1~ _beta c_2 $ $hArr$ $ beta (c_1)=beta (c_2) $ le due solite relazioni su $C$
Definisco due omomorfismi $phi: A rarr C/~ _alpha xx C/~ _beta $ , $ psi:B rarr C/~ _alpha xx C/~ _beta $ in questo modo:
$ phi(a)=([c]_a, e_(C/~ _beta))$ con $[c]_a={c: alpha(c)=a} $ e $psi(b)=(e_(C/~ _alpha),[c]_b)$ con $[c]_b={c: beta(c)=b}$. $ phi$ ( e allo stesso modo $psi$ ) è omomorfismo visto che lo è $ alpha$ e che $e_(C/~ _alpha)$ è l'elemento neutro di $C/~ _alpha$ .
$C/~ _alpha xx C/~ _beta$ è oggetto iniziale della categoria grazie al morfismo $sigma: C/~ _alpha xx C/~ _beta rarr Z $ tale che $sigma([c]_a, [c]_b)= f(a)g(b) $ ( con $f:A rarr Z $ , $g: B rarr Z $ omomorfismi ) che è un omomorfismo di gruppi visto che:
$ sigma( [c]_(a_1) [c]_(a_2), [c]_(b_1) [c]_(b_2)) )= f(a_1 a_2)g(b_1 b_2) = f(a_1)f(a_2)g(b_1)g(b_2) =f(a_1)g(b_1)f(a_2)g(b_2)= sigma( [c]_(a_1) [c]_(b_1)) sigma( [c]_(a_2) [c]_(b_2)) )$
poiché $Z$ è commutativo trovandosi in $Ab$ [nota]questa costruzione infatti non varebbe nella categoria $Grp$[/nota], che $ sigma$ sia unico e renda commutativo il diagramma si vede in modo del tutto equivalente a quanto fatto in precedenza.Se siete riusciti a sciropparvi tutta questa roba vorrei sapere se le costruzioni secondo voi sono corrette e se ci sia un modo migliore/più semplice/ più naturale per definire questi oggetti.
Risposte
Il prodotto fibrato in \(\displaystyle\mathbf{Set}\) l'hai definito bene; c'è solo un errore di distrazione nella definizione del morfismo \(\displaystyle\sigma\).
E per quanto ne sò: almeno in \(\displaystyle\mathbf{Set}\) gli oggetti "universali di base" li devi costruire pezzo per pezzo!
Poi, usando i funtori e le aggiunzioni puoi saltare alcuni passaggi; ma devi comunque avere una categoria di base di cui già conosci i predetti oggetti.
P.S.: Aluffi ha sbagliato titolo per omissione o capitolo per numerazione...
E per quanto ne sò: almeno in \(\displaystyle\mathbf{Set}\) gli oggetti "universali di base" li devi costruire pezzo per pezzo!
Poi, usando i funtori e le aggiunzioni puoi saltare alcuni passaggi; ma devi comunque avere una categoria di base di cui già conosci i predetti oggetti.
P.S.: Aluffi ha sbagliato titolo per omissione o capitolo per numerazione...
c'è solo un errore di distrazione nella definizione del morfismo σ
Ciao j18eos, grazie per la correzione! se ho capito quale è l'errore di distrazione a cui ti riferisci (avevo scritto $f$ anziché $g$ e $g$ anziché $h$) l'ho corretto editando il messaggio.
Putroppo non ho capito il resto... In particolare:
E per quanto ne sò: almeno in Set gli oggetti "universali di base" li devi costruire pezzo per pezzo!
Poi, usando i funtori e le aggiunzioni puoi saltare alcuni passaggi; ma devi comunque avere una categoria di base di cui già conosci i predetti oggetti.
Puoi spiegarti meglio?
P.S.: Aluffi ha sbagliato titolo per omissione o capitolo per numerazione...
EDIT: ieri notte non avevo capito la battuta e ho risposto fischi per fiaschi... lascio comunque quell che avevo scritto anche se non c entranva nulla
[I capitoli sono giusti, il titolo e i nomi li ho dati io, interpretando il testo orginale che definiva $ C_(alpha,beta)$ come la fibered version di un'altra categoria di cui non dava il nome ( quella i cui oggetti sono tutti i diagrammi $ (Z, f,g,A,B)$ ,con $A$, $B$ fissati, per interderci).
Dopodichè mi chiedeva di definire un prodotto e un coprodotto in questa fibered version costruita sia sopra $SET$ che sopra $Ab$ e io mi sono inventato il nome fibered product/coproduct , rimanendo sull'inglese per non creare ulteriori incomprensioni.]
Sai che intendo per oggetto universale in una categoria?
Non conosco la definizione di proprietà universale che fa uso del concetto di funtore (per precisa scelta dell'autore del libro che introduce le categorie a pagina 20 ma rimanda i funtori (almeno esplicitamente) fino al cap VIII) . La definizione che conosco io è che un oggetto soddisfa una certa proprietà universale se è un oggetto terminale di una opportuna categoria, ed è seguendo questa definizione che ho provato a costruire i prodotti e co-prodotti in $SET_(alpha,beta)$ , $Ab_(alpha,beta)$.
Appunto: quello che intendo io è che gli oggetti (co)finali o (co)terminali per un diagramma, all'inizio te li devi costruire esplicitamente in una categoria di base \(\displaystyle\mathbf{C}\); poi, usando dei funtori \(\displaystyle F:\mathbf{C}\to\mathbf{D}\) puoi subire dire (sotto opportune ipotesi su \(\displaystyle F\)) chi siano alcuni oggetti (co)finali di \(\displaystyle\mathbf{D}\); altrimenti, anche in \(\displaystyle\mathbf{D}\) devi costruire esplicitamente tali oggetti.
altrimenti, anche in D devi costruire esplicitamente tali oggetti.
Mi pare proprio quello che ho fatto io per $Ab$ ..
"FE":Le hai definite male, o meglio, in maniera incompleta!
...
Fibered co-product in $SET$:
...
Definisco ora due funzioni :
$f_(~ _alpha):A rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _alpha)(a)= [c]_(~ _alpha) $
$f_(~ _beta):B rarr C/~ _alpha U C/~ _beta $ t.c. $ f_(~ _beta)(b)= [c]_(~ _beta) $
...
"FE":
$alpha(f_(~ _alpha)(( pi_alpha(g(z)))= alpha ([g(z)]_(~ _alpha))$
Il membro destro non è ben definito, ma immagino tu intendessi \(\alpha f_{\sim_{\alpha}} [g(z)]_{\sim_{\alpha}} \).
"FE":
il dato di $ ( A/~ _alpha xx B/~ _beta , f_(~ _alpha), f_(~ _beta) , alpha, beta ) $ è un oggetto finale nella categoria $ SET_(alpha,beta) $
Non serve includere \(\alpha\) e \(\beta\), il dato è \((A/ {\sim_{\alpha}} \times A/ {\sim_{\beta}}, \ f_{\sim_{\alpha}}, \ f_{\sim_{\beta}})\).
Sono d'accordo che la costruzione vada bene, ma secondo me ti sei complicato la vita inutilmente. Riesci a fornirne una che non richieda passaggi al quoziente? L'idea è (quasi) tutta nella costruzione che hai fatto, ma puoi alleggerirla di molti "livelli" di composizione (e secondo me diventa anche più chiaro cosa sta succedendo davvero).
"FE":
A questo punto dico che il dato di $ ( C, alpha, beta,f_(~ _alpha),f_(~ _beta), C/~ _alpha U C/~ _beta) $ è un oggetto iniziale della categoria $SET^(alpha,beta)$
Non serve includere \(C\), \(\alpha\) e \(\beta\), il dato è \((C/ {\sim_{\alpha}} \amalg C/ {\sim_{\beta}}, \ f_{\sim_{\alpha}}, \ f_{\sim_{\beta}})\).
Comunque qui hai sbagliato la costruzione, quello che hai costruito non è il cofibered product (è un'altra cosa, probabilmente molto più utile, ma non era quel che chiedeva l'esercizio). Quello che hai costruito si chiama comunemente pushout (così come il fibered product è comunemente detto pullback) e nella terminologia adottata qui da Aluffi direi che è un cofibered coproduct. Anche qui la costruzione può essere alleggerita, ma in maniera meno sensibile rispetto a prima (il modo più comune di procedere è fare un quoziente del coprodotto invece che un coprodotto di quozienti; sembra una roba da niente, ma la prima costruzione la puoi generalizzare a categorie qualsiasi più facilmente della seconda). Ti consiglio di provare ad alleggerire anche questa, la costruzione solita ti tornerà utile se mai vorrai studiare il teorema di esistenza dei colimiti. Quanto all'esercizio originale, devi costruire un oggetto finale, non iniziale.
Perdonami, ma per ora mi fermo qui, ché devo scappare, appena ho due secondi provo a dirti la mia sulle altre costruzioni.
"Epimenide93":Scusa ma come si può evitare il quoziente?
...Sono d'accordo che la costruzione vada bene, ma secondo me ti sei complicato la vita inutilmente. Riesci a fornirne una che non richieda passaggi al quoziente? L'idea è (quasi) tutta nella costruzione che hai fatto, ma puoi alleggerirla di molti "livelli" di composizione (e secondo me diventa anche più chiaro cosa sta succedendo davvero)...
"j18eos":
Scusa ma come si può evitare il quoziente?
Quel pullback in \(\mathbf{Set}\) è \((A \times_C B, p_{\alpha}, p_{\beta})\) con \(A \times_C B = \{(a,b) \subseteq A \times B : \alpha (a) = \beta (b)\}\), \(p_{\alpha} : (a,b) \mapsto a\) e \(p_{\beta} : (a,b) \mapsto b\).
Ah già, scusa: ti riferivi al prodotto fibrato e non al coprodotto fibrato.
Ciao Epimenide, innanzitutto grazie mille per il tuo intervento molto molto molto utile.
Il pullback l'avevo rifatto giusto, con il con il morfismo $sigma (z) = (f(z), g(z) )$ ed è decisamente più semplice e naturale di come avevo fatto inizialmente.
Sul pushout vediamo un po'...ho fatto di fretta e non sapevo bene come scrivere la relazione di equivalenza..
Ecco la costruzione:
Definisco una relazione di equivalenza sull'unione disgiunta $A U B $ in questo modo:
$ x~ y hArr $ $x$ e $y$ hanno la stessa controimmagine in $C$ .
Definisco due funzioni:
$ f_(alpha) : A rarr (AUB)/~ $ t.c $ f_(alpha) (a) = [a]_(~) $ e in modo equivalente su $B$: $f_(beta)(b) = _(~)$
A questo punto ho il morfismo $sigma$ tale che $sigma([a]_(~))=f(a) $ , $ sigma(_(~))=g(b)$ per concludere che $(AUB)/~ $ è oggetto iniziale.
Appena riesco rispondo anche sul resto.
Edit, Nota:lo scrivo per chiarezza rispetto ai post precedenti anche se si capisce bene: qui ho usato $f$ , $g$ per denotare le funzioni che prima avevo denotato rispettivamente $h$ e $g$. Mi scuso per la confusione comunque credo si capisca bene dal contesto.
Il pullback l'avevo rifatto giusto, con il con il morfismo $sigma (z) = (f(z), g(z) )$ ed è decisamente più semplice e naturale di come avevo fatto inizialmente.
Sul pushout vediamo un po'...ho fatto di fretta e non sapevo bene come scrivere la relazione di equivalenza..
Ecco la costruzione:
Definisco una relazione di equivalenza sull'unione disgiunta $A U B $ in questo modo:
$ x~ y hArr $ $x$ e $y$ hanno la stessa controimmagine in $C$ .
Definisco due funzioni:
$ f_(alpha) : A rarr (AUB)/~ $ t.c $ f_(alpha) (a) = [a]_(~) $ e in modo equivalente su $B$: $f_(beta)(b) = _(~)$
A questo punto ho il morfismo $sigma$ tale che $sigma([a]_(~))=f(a) $ , $ sigma(_(~))=g(b)$ per concludere che $(AUB)/~ $ è oggetto iniziale.
Appena riesco rispondo anche sul resto.
Edit, Nota:lo scrivo per chiarezza rispetto ai post precedenti anche se si capisce bene: qui ho usato $f$ , $g$ per denotare le funzioni che prima avevo denotato rispettivamente $h$ e $g$. Mi scuso per la confusione comunque credo si capisca bene dal contesto.
Prova a mostrare quanto segue.
Data una categoria \(\mathcal C\), definisci la categoria \(\mathcal C/x\) degli oggetti "sopra" un dato oggetto $x$ come quella che ha per oggetti le freccec $a\to x$, e per morfismi gli ovvi triangoli commutativi. Dualmente, definisci \(y/\mathcal C\) avente per oggetti le frecce $y\to b$ in \(\mathcal C\) e per morfismi ancora gli ovvi triangoli commutativi.
Il pullback di $a\to x\leftarrow b$ in \(\mathcal C\), se esiste, coincide con il prodotto dei due oggetti $a\to x, b\to x$ in \(\mathcal C/x\). Dualmente, il pushout di $c\leftarrow y\to d$ se esiste coincide con il coprodotto dei due oggetti $c\leftarrow y$, $y\to d$ in \(y/\mathcal C\).
Data una categoria \(\mathcal C\), definisci la categoria \(\mathcal C/x\) degli oggetti "sopra" un dato oggetto $x$ come quella che ha per oggetti le freccec $a\to x$, e per morfismi gli ovvi triangoli commutativi. Dualmente, definisci \(y/\mathcal C\) avente per oggetti le frecce $y\to b$ in \(\mathcal C\) e per morfismi ancora gli ovvi triangoli commutativi.
Il pullback di $a\to x\leftarrow b$ in \(\mathcal C\), se esiste, coincide con il prodotto dei due oggetti $a\to x, b\to x$ in \(\mathcal C/x\). Dualmente, il pushout di $c\leftarrow y\to d$ se esiste coincide con il coprodotto dei due oggetti $c\leftarrow y$, $y\to d$ in \(y/\mathcal C\).
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