Fattorizzazione polinomio di Zp[X]

[m_2000]

Dato il polinomio $f(x) = x^(p^2)-x^p-1 in ZZ[x]$
Per $p = 3$, determinare una fattorizzazione della riduzione di $f(x)$ modulo $3$ in $ZZ_3[x]$.
Per definizione: $f(x)=[1]_3*x^9+[-1]_3*x^3+[-1]_3=x^9+[2]_3*x^3+[2]_3$ è la sua riduzione...
Come posso fattorizzarlo?
Con Ruffini non posso fattorizzarlo, perchè non trovo radici...

[hydro1]

Ti ricordo che in \(\mathbb Z/p\mathbb Z\) vale $(a+b)^p=a^p+b^p$.

[m_2000]

Scusami ma non ho ancora capito...

[Studente Anonimo]

\[ x^{p^2} - x^p - 1 = x^{p^2 } - ( x^p +1) = x^{p^2} - (x+1)^p \]
quindi \( \alpha \) in \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) è una radice se e solo se soddisfa
\[ \alpha^{p^2} \equiv (\alpha+1)^p \mod p \]
metti \(p=3 \) e cerca le radici.

[j18eos]

...se non erro: pure l'automorfismo di Frobenius potrebbe aiutare!

[m_2000]

"hydro":Ti ricordo che in \( \mathbb Z/p\mathbb Z \) vale $ (a+b)^p=a^p+b^p $.

"3m0o":\[ x^{p^2} - x^p - 1 = x^{p^2 } - ( x^p +1) = x^{p^2} - (x+1)^p \]
quindi \( \alpha \) in \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) è una radice se e solo se soddisfa
\[ \alpha^{p^2} \equiv (\alpha+1)^p \mod p \]
metti \( p=3 \) e cerca le radici.

Pensandoci su posso porre:
$(x^3)^3-(x+1)^3=(x^3-x-[1]_3)^3$ che non ha radici nel campo $ZZ_3$ ed è di grado 3 e quindi è irriducibile.
Ho però un dubbio... per provare che un polinomio a coefficienti in $ZZ_p$ non abbia soluzioni è lecito trasformarlo in un polinomio sul campo $ZZ$ (ad esempio in questo caso $f(x)=x^3+2x+2$) e verificare che questo non ha soluzioni in $QQ$ (nel polinomio in questione le radici vanno cercate in ${2,-2,1,-1}$, ma nessuno di questi valori è radice per $f$)?
Probabilmente ho scritto fesserie...

[hydro1]

"m_2000":
Pensandoci su posso porre:
$(x^3)^3-(x+1)^3=(x^3-x-[1]_3)^3$ che non ha radici nel campo $ZZ_3$ ed è di grado 3 e quindi è irriducibile.

Eh già.

"m_2000":
Ho però un dubbio... per provare che un polinomio a coefficienti in $ZZ_p$ non abbia soluzioni è lecito trasformarlo in un polinomio sul campo $ZZ$ (ad esempio in questo caso $f(x)=x^3+2x+2$) e verificare che questo non ha soluzioni in $QQ$ (nel polinomio in questione le radici vanno cercate in ${2,-2,1,-1}$, ma nessuno di questi valori è radice per $f$)?

Intanto $ZZ$ non è un campo. Poi è pieno di polinomi che non hanno radici in $ZZ$ ma ne hanno in \(\mathbb Z/p \mathbb Z\), ad esempio $x^2+1$ che ha radici modulo ogni primo congruo ad 1 modulo 4.

[m_2000]

Intanto $ZZ$ non è un campo. Poi è pieno di polinomi che non hanno radici in $ZZ$ ma ne hanno in \(\mathbb Z/p \mathbb Z\), ad esempio $x^2+1$ che ha radici modulo ogni primo congruo ad 1 modulo 4.[/quote]
perfetto grazie

[Studente Anonimo]

"m_2000":
$(x^3)^3-(x+1)^3=(x^3-x-[1]_3)^3$

Ma scusa non era
\[ (x^3)^2-(x+1)^3 \]
??

[m_2000]

"3m0o":[quote="m_2000"]
$(x^3)^3-(x+1)^3=(x^3-x-[1]_3)^3$

Ma scusa non era
\[ (x^3)^2-(x+1)^3 \]
??[/quote]

Si scusa errore mio

[hydro1]

"3m0o":[quote="m_2000"]
$(x^3)^3-(x+1)^3=(x^3-x-[1]_3)^3$

Ma scusa non era
\[ (x^3)^2-(x+1)^3 \]
??[/quote]

$(x^3)^2\ne x^{3^2}$

[Studente Anonimo]

ovviamente volevo scrivere \(x^{3^2} \)
Edit:
E dunque va bene m_2000! Perché \( (x^3)^3 = x^{3^2} \)

[m_2000]

grazie mille!