Fattorizzazione polinomi

[nato_pigro1]

Sia $f$ un polinomio univariato, provare che:

_ $x-y$ divide $f(x)-f(y)$ in $K[x,y]$;
_ $h(\alpha,\alpha) != 0$ per ogni $\alpha$ radice semplice di $f$ e con $h(x,y) = (f(x)-f(y)) / (x-y)$
_ $h(\alpha,\beta) = 0$ con $\alpha$ e $\beta$ radici distinte di $f$.

Ho provato con un polinomio di esempio ed effettivamente funziona, i termini noti se ne vanno... però no saprei come dimostrarlo in generale. Per il secondo punto non capisco neanche bene cosa mi chieda... $h$ è ben definita per $x=y$?

[Stickelberger]

Per dimostrare che $h=x-y$ divide $f(x)-f(y)$ basta verificare che
$f(x)-f(y)\equiv 0$ modulo $h$.

Ora, si ha che $y\equiv x$ modulo $h$. Il fatto che ridurre modulo $h$ e' un
omomorfismo di anelli implica quindi che $f(y) \equiv f(x)$ modulo $h$, come richiesto.

[Old Nick]

Se f(x) = \(\displaystyle \Sigma\) a(t) x\(\displaystyle ^t \) allora f(x) - f(y) = \(\displaystyle \Sigma\) a(t) ( x\(\displaystyle ^t \) - y\(\displaystyle ^t \))
Dall'algebra elementare si sa che per qualsiasi valore non zero di t esiste un polinomio g(x,y,t) per cui :
(x\(\displaystyle ^t \) - y\(\displaystyle ^t \)) = (x - y ) g(x,y,t).

dunque f(x) - f(y) = ( x - y) \(\displaystyle \Sigma\) a(t) g( x, y, t).