Fattorizzazione polinomi
Salve a tutti....sapete aiutarmi a fattorizzare i seguenti polinomi?
a. $3X^4+X-1$ in $R=ZZ[X]$
b. $X^4-X^2+4X+3$ in $R=QQ[X]$
In entrambi i casi non riesco a trovare neanche il modo per dimostrare che sono irriducibili...ho provato con Eiseinstein (trasformando il polinomio) ma non riesco a trovare nessun modo per poterlo applicare....ho provato a passare i polinomi in $ZZ_2[X]$, ma così trovo solo che entrambi sono riducibili su $ZZ_2[X]$. Cosa posso fare ancora? Vi ringrazio!!
a. $3X^4+X-1$ in $R=ZZ[X]$
b. $X^4-X^2+4X+3$ in $R=QQ[X]$
In entrambi i casi non riesco a trovare neanche il modo per dimostrare che sono irriducibili...ho provato con Eiseinstein (trasformando il polinomio) ma non riesco a trovare nessun modo per poterlo applicare....ho provato a passare i polinomi in $ZZ_2[X]$, ma così trovo solo che entrambi sono riducibili su $ZZ_2[X]$. Cosa posso fare ancora? Vi ringrazio!!
Risposte
Nessuno...
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Il secondo dovrebbe essere irriducibile modulo 5... Come faccio ad esserne sicuro? Perché ho barato ed ho usato l'[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Berlekamp's_algorithm]algoritmo di Berlekamp[/url]. Se non vuoi usare questo metodo, beh, buoni calcoli!
Ah, e il primo dovrebbe essere irriducibile modulo 2 (fatto nello stesso modo).
(In ogni caso, l'algoritmo di Berlekamp è uno strumento potente; può essere usato per determinare completamente la fattorizzazione, ma se ti basta stabilire se un polinomio modulo p sia riducibile o meno, ti puoi fermare abbastanza presto nell'algoritmo, e questo lo rende abbastanza utilizzabile)
Ah, e il primo dovrebbe essere irriducibile modulo 2 (fatto nello stesso modo).
(In ogni caso, l'algoritmo di Berlekamp è uno strumento potente; può essere usato per determinare completamente la fattorizzazione, ma se ti basta stabilire se un polinomio modulo p sia riducibile o meno, ti puoi fermare abbastanza presto nell'algoritmo, e questo lo rende abbastanza utilizzabile)
senza scomodare roba più difficile di quella che (immagino) tu possa usare, il primo potresti farlo così:
innanzitutto, non è prodotto di un termine di primo grado per un termine di terzo grado (perché sennò avrebbe una radice)
se \(\displaystyle\frac rs\) è una soluzione allora \(r|-1\) e \(s|3\)
quindi le combinazioni di soluzioni sono \(\pm1\) e \(\pm\frac13\)
ma non sono radici
poi fai il sistemino per vedere se ci sono due di secondo grado. il lemma di gauss ti aiuta un po'
\(3x^4+x-1=(3x^2+ax+1)(x^2+bx-1)\)
oppure \(3x^4+x-1=(3x^2+ax-1)(x^2+bx+1)\)
in entrambi i casi \(a=-3b\)
e quindi \(4b=\pm1\)
impossibile
il secondo devo pensarci. mi sembra più brutto, però...
innanzitutto, non è prodotto di un termine di primo grado per un termine di terzo grado (perché sennò avrebbe una radice)
se \(\displaystyle\frac rs\) è una soluzione allora \(r|-1\) e \(s|3\)
quindi le combinazioni di soluzioni sono \(\pm1\) e \(\pm\frac13\)
ma non sono radici
poi fai il sistemino per vedere se ci sono due di secondo grado. il lemma di gauss ti aiuta un po'
\(3x^4+x-1=(3x^2+ax+1)(x^2+bx-1)\)
oppure \(3x^4+x-1=(3x^2+ax-1)(x^2+bx+1)\)
in entrambi i casi \(a=-3b\)
e quindi \(4b=\pm1\)
impossibile
il secondo devo pensarci. mi sembra più brutto, però...
Grazie a entrambi....si il primo è irriducile anche modulo 2...forse avevo commesso qualche errore di calcolo l'altra volta...e x il secondo non conosco quest'algoritmo...magari provo a fare qualche calcolo...
se nel frattempo vi è venuta un'idea migliore ditemi eh..
! Grazie ancora...
se nel frattempo vi è venuta un'idea migliore ditemi eh.. ! Grazie ancora...
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