Fattorizzazione polinomi

[nato_pigro1]

Riuscite a fattorizzarmi questo polinomio in $RR$ e in $CC$?

$x^4+x^3+x^2+x+1$

grazie

[franced]

"nato_pigro":Riuscite a fattorizzarmi questo polinomio in $RR$ e in $CC$?

$x^4+x^3+x^2+x+1$

grazie

$(x^2 + (1+sqrt(5))/2 * x + 1) * (x^2 + (1-sqrt(5))/2 * x + 1) $

[franced]

Comunque le radici complesse sono:

$ 1/4 ( sqrt(5) - 1 + sqrt(10 + 2 sqrt(5)) i )$

$1/4 ( sqrt(5) - 1 - sqrt(10 + 2 sqrt(5)) i )$

$1/4 (- sqrt(5) + 1 - sqrt(10 - 2 sqrt(5)) i )$

$1/4 (- sqrt(5) +1 + sqrt(10 - 2 sqrt(5)) i )$

[nato_pigro1]

ah, ok...
io però non so che trovarle le redici complesse in questo caso... so come si fa nei casi $x^n=z$ e $ax^2+bx+c=0$, ma così no...

[rubik2]

"nato_pigro":ah, ok...
io però non so che trovarle le redici complesse in questo caso... so come si fa nei casi $x^n=z$ e $ax^2+bx+c=0$, ma così no...

se hai un po' di occhio puoi notare che $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1$ quindi le sue radici complesse sono le radici quinte dell'unità diverse da 1

[roxy3]

vengono fuori da una semplice equazione di 2°

[nato_pigro1]

"rubik":[quote="nato_pigro"]ah, ok...
io però non so che trovarle le redici complesse in questo caso... so come si fa nei casi $x^n=z$ e $ax^2+bx+c=0$, ma così no...

se hai un po' di occhio puoi notare che $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1$ quindi le sue radici complesse sono le radici quinte dell'unità diverse da 1 [/quote]

brillante! non ci avrei mai pensato!

"roxy":vengono fuori da una semplice equazione di 2°

puoi spiegarti meglio?

[@melia]

$x^4+x^3+x^2+x+1$
Un volta stabilito che non ammette soluzioni reali, sicuramente le soluzioni sono complesse coniugate, quindi il polinomio è sicuramente scomponibile nella forma
$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$,
facendo i calcoli si ottiene

$(x^2 + (1+sqrt(5))/2 * x + 1) * (x^2 + (1-sqrt(5))/2 * x + 1) $

da qui per l'ulteriore scomposizione si procede con i due fattori di secondo grado usando la scoposizione del trinomio

$Ax^2+Bx+C=A(x-x_1)(x-x_2)$

dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata al trinomio