Fattorizzazione in irriducibili
Ciao a tutti!
Ho un problema con la fattorizzazione in irriducibili del polinomio $x^4+2x^2+1$ in $ZZ_5$ che dovrebbe essere riducibile perchè ho trovato due radici (2 e 3 se non sbaglio) ma non so cosa fare, mi sto incartando...
Ho un problema con la fattorizzazione in irriducibili del polinomio $x^4+2x^2+1$ in $ZZ_5$ che dovrebbe essere riducibile perchè ho trovato due radici (2 e 3 se non sbaglio) ma non so cosa fare, mi sto incartando...
Risposte
se $\alpha$ è radice del polinomio $p (x)$ allora per il teorema di ruffini $(x-\alpha) | p(x)$ parti da qui
Ok, avevo fatto un errore nei conti ecco perchè sono andata un po' in panico...Ma se devo ridurre un polinomio in $QQ$ da dove devo partire?Ho un casino in testa su questa roba...scusate.
Grazie!
Grazie!
La fattorizzazione in $QQ$ è ampiamente trattata in qualsiasi libro di algebra, sicuramente meglio di come potrei fare io su un forum quindi ti rimando alla lettura approfondita dei testi; anche perchè è un argomento piuttosto importante.
Comunque esiste il teorema di Eisenstein che ci fornisce un modo per vedere se un polinomio è irriducibile (attenzione: è una condizione necessaria ma non sufficiente questo teorema); altrimenti cerca le radici (che in questo caso sai come cercare?!) e dividi il polinomio; o ancora potresti provare anche la riduzione modulo in intero che non alteri il grado del coefficiente direttore e verificare l'irriducibilità in $ZZ_n$ . La non riducibilità in $ZZ_n$ implica la non riducibilità in $QQ$ (attenzione: non vale il viceversa!)
Leggi bene comunque un libro di testo!
Comunque esiste il teorema di Eisenstein che ci fornisce un modo per vedere se un polinomio è irriducibile (attenzione: è una condizione necessaria ma non sufficiente questo teorema); altrimenti cerca le radici (che in questo caso sai come cercare?!) e dividi il polinomio; o ancora potresti provare anche la riduzione modulo in intero che non alteri il grado del coefficiente direttore e verificare l'irriducibilità in $ZZ_n$ . La non riducibilità in $ZZ_n$ implica la non riducibilità in $QQ$ (attenzione: non vale il viceversa!)
Leggi bene comunque un libro di testo!
Ecco, mi sono spiegata male, il fatto è che non so proprio come trovare le radici...sul libro non c'è scritto nulla!
Ti darò una definizione rigorosa che presuppone che tu conosca la definizione formale di Polinomio.
Sia $f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i$ polinomio in $ZZ [x]$ non costante. e sia $a_n != 0$
sia $\alpha = r/s $ $r,s in ZZ$ $MCD (r,s) =1$ una radice razionale di $f$
allora $r|a_0$ e $s|a_n$
in parole povere quando ti trovi davanti ad un polinomio e lo devi fattorizzare in $QQ$ costruisciti due insiemi formati rispettivamente dai divisori del termine note e dai divisori del coefficiente direttore, e consideri le possibili frazioni secondo quando scritto sopra... se una radice esiste, è lì dentro!
Sia $f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i$ polinomio in $ZZ [x]$ non costante. e sia $a_n != 0$
sia $\alpha = r/s $ $r,s in ZZ$ $MCD (r,s) =1$ una radice razionale di $f$
allora $r|a_0$ e $s|a_n$
in parole povere quando ti trovi davanti ad un polinomio e lo devi fattorizzare in $QQ$ costruisciti due insiemi formati rispettivamente dai divisori del termine note e dai divisori del coefficiente direttore, e consideri le possibili frazioni secondo quando scritto sopra... se una radice esiste, è lì dentro!
Oh!Grazie mille! 
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