Fattorizzazione di polinomi in $CC[x]$ e $RR[x]$
salve a tutti, è il mio primo argomento che posto, quindi sono un po' emozionato 
scherzi a parte....
il problema è questo:
come si può fattorizzare un polinomio di grado superiore al 3° che non abbia il termine noto??? io ho provato con vari "raccoglimenti" ma non riesco a uscirne.. so che non dovrebbe essere molto difficile, ma mi sono proprio impantanato!!!!
ps il polinomio è x^5+5x da fattorizzare in c[x]
grazie
scherzi a parte....il problema è questo:
come si può fattorizzare un polinomio di grado superiore al 3° che non abbia il termine noto??? io ho provato con vari "raccoglimenti" ma non riesco a uscirne.. so che non dovrebbe essere molto difficile, ma mi sono proprio impantanato!!!!
ps il polinomio è x^5+5x da fattorizzare in c[x]
grazie
Risposte
Io comincerei a raccogliere una $x$.
Poi tieni conto che in $CC[X]$ tutti i polinomi si spezzano in fattori lineari ($CC$ è algebricamente chiuso) e in $RR[X]$ i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di primo grado e quelli di secondo grado con discriminante negativo.
P.S. Benvenuto su Matematicamente!
Poi tieni conto che in $CC[X]$ tutti i polinomi si spezzano in fattori lineari ($CC$ è algebricamente chiuso) e in $RR[X]$ i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di primo grado e quelli di secondo grado con discriminante negativo.
P.S. Benvenuto su Matematicamente!
intanto grazie per avermi risposto subito...
comunque il problema è che raccolgliendo una X non riesco comunque a sciogliere il problema... mi resta comunque un polinomio di cui non riesco a trovare le radici..
sarebbe possibile farmi vedere i passaggi necessari???
grazie
comunque il problema è che raccolgliendo una X non riesco comunque a sciogliere il problema... mi resta comunque un polinomio di cui non riesco a trovare le radici..
sarebbe possibile farmi vedere i passaggi necessari???grazie
$x^5+5x=x(x^4+5)$
Adesso, basta calcolare le quattro radici quarte di $-5$ per ottenere la scomposizione in fattori lineari in $CC[x]$.
Per quanto riguarda $RR[x]$, invece il discorso è più sottile: anzitutto, osserva che il polinomio $x^4+5$ non ha radici razionali (di più, è irriducibile su $QQ$ per Eisenstein).
Dunque, si fattorizza come prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti reali, che possiamo scegliere monici. A questo punto, è solo questione di conti (tediosi): imponi $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+5$.
Sviluppa il prodotto a primo membro e applica il principio di identità dei polinomi.
Adesso, basta calcolare le quattro radici quarte di $-5$ per ottenere la scomposizione in fattori lineari in $CC[x]$.
Per quanto riguarda $RR[x]$, invece il discorso è più sottile: anzitutto, osserva che il polinomio $x^4+5$ non ha radici razionali (di più, è irriducibile su $QQ$ per Eisenstein).
Dunque, si fattorizza come prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti reali, che possiamo scegliere monici. A questo punto, è solo questione di conti (tediosi): imponi $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+5$.
Sviluppa il prodotto a primo membro e applica il principio di identità dei polinomi.
scusami ma mi sono accorto ora di un errore di battitura mia...
il polinomio è $x^5+5x^2$, per questo non mi torna molto bene la fattorizzazione... devo procedere nello stesso modo???
il polinomio è $x^5+5x^2$, per questo non mi torna molto bene la fattorizzazione... devo procedere nello stesso modo???
"tipu91":
scusami ma mi sono accorto ora di un errore di battitura mia...
il polinomio è $x^5+5x^2$, per questo non mi torna molto bene la fattorizzazione... devo procedere nello stesso modo???
Tu che dici?
P.S. Ti prego di fare attenzione a quanto posti in futuro. Grazie per la collaborazione.
si lo so, mi scuso perchè faccio perdere tempo a voi amministratori che mi rispondete e mi confondo le idee io
comunque io ho provato a procedere nello stesso modo e mi viene co sì $x[x(x^3+5)]$
a questo punto avrei un polinomio di 3° grado e verrebbe $x^3=-5$ quindi $x=(-5)^(1/3)$
quindi il polinomio sarebbe $x^2((-5)^(1/3))$ questo sarebbe fattorizzato???
comunque io ho provato a procedere nello stesso modo e mi viene co sì $x[x(x^3+5)]$
a questo punto avrei un polinomio di 3° grado e verrebbe $x^3=-5$ quindi $x=(-5)^(1/3)$
quindi il polinomio sarebbe $x^2((-5)^(1/3))$ questo sarebbe fattorizzato???
"tipu91":
comunque io ho provato a procedere nello stesso modo e mi viene così $x[x(x^3+5)]$
Sì, fin qui ci sei, il polinomio sarebbe $x^2(x^3+5)$. Ora devi scomporre il secondo fattore.
In $CC[x]$, ti calcoli le tre radici cubiche di $-5$ (nota che una è reale) e sei a posto.
In $RR[x]$, invece, dopo aver osservato che [tex]\sqrt[3]{-5}[/tex] annulla il tuo polinomio, dividi, usando la regola di Ruffini, $(x^3+5)$ per [tex]x-\sqrt[3]{-5}[/tex].
Tra l'altro, sposto in Algebra che mi pare una sezione più appropriata.
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