Famiglia vuota: unione e intersezione
A pagina 13 di questa dispensa http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf ci sono delle affermazioni che mi hanno turbato:
Se io ho una famiglia di insiemi vuota [tex]\emptyset[/tex], dice che l'intersezione della famiglia [tex]\bigcap \emptyset[/tex] non esiste, mentre l'unione [tex]\bigcup \emptyset[/tex] è l'insieme vuoto.
Chi riesce a spiegarmi in modo convincente il perché?
Ecco come la penso io:
Intersezione: L'intersezione di una famiglia di insiemi è un insieme che racchiude tutti gli elementi comuni a ciascun elemento della famiglia, ma la famiglia vuota non ha insiemi da cui attingere elementi comuni e quindi mi verrebbe da dire che l'intersezione è l'insieme vuoto e non che "non esiste"…
Unione: L'unione rappresenta tutti gli elementi degli insiemi che compongono la famiglia, ma dato che la famiglia è vuota non ha elementi e quindi è l'insieme vuoto…
Che differenza c'è allora tra dire che "non esiste" e dire che "è l'insieme vuoto"?
Se io ho una famiglia di insiemi vuota [tex]\emptyset[/tex], dice che l'intersezione della famiglia [tex]\bigcap \emptyset[/tex] non esiste, mentre l'unione [tex]\bigcup \emptyset[/tex] è l'insieme vuoto.
Chi riesce a spiegarmi in modo convincente il perché?
Ecco come la penso io:
Intersezione: L'intersezione di una famiglia di insiemi è un insieme che racchiude tutti gli elementi comuni a ciascun elemento della famiglia, ma la famiglia vuota non ha insiemi da cui attingere elementi comuni e quindi mi verrebbe da dire che l'intersezione è l'insieme vuoto e non che "non esiste"…
Unione: L'unione rappresenta tutti gli elementi degli insiemi che compongono la famiglia, ma dato che la famiglia è vuota non ha elementi e quindi è l'insieme vuoto…
Che differenza c'è allora tra dire che "non esiste" e dire che "è l'insieme vuoto"?
Risposte
ho cancellato il post poichè essendo stanco ho sbagliato il ragionamento
Innanzitutto grazie per la risposta.
Ma quindi tu mi stai dicendo che una famiglia vuota di insiemi corrisponde ad una famiglia di insiemi vuoti?
Forse ho capito male, però mi sembra che se fosse così, gli insiemi vuoti costituirebbero elementi della famiglia, non rendendola più vuota...
Ma quindi tu mi stai dicendo che una famiglia vuota di insiemi corrisponde ad una famiglia di insiemi vuoti?
Forse ho capito male, però mi sembra che se fosse così, gli insiemi vuoti costituirebbero elementi della famiglia, non rendendola più vuota...
stessa cosa del mio precedente messaggio
Evidentemente non mi sono espresso bene.
Quello di cui io parlo è una famiglia di insiemi che sia vuota, cioè considero l'insieme vuoto come insieme di insiemi, dicendo quindi che questa famiglia sia l'insieme vuoto. A questo punto la domanda è: perché l'intersezione "non esiste"?
Quello di cui io parlo è una famiglia di insiemi che sia vuota, cioè considero l'insieme vuoto come insieme di insiemi, dicendo quindi che questa famiglia sia l'insieme vuoto. A questo punto la domanda è: perché l'intersezione "non esiste"?
così pensando dici che ogni elemento della famiglia, ovvero gli insiemi vuoti
No Garnack lui intende una famiglia vuota di insiemi, non una famiglia di insiemi vuoti. In una famiglia vuota non ci sono elementi
Che differenza c'è allora tra dire che "non esiste" e dire che "è l'insieme vuoto"?
Non me ne intendo ma provo ad avanzare una ipotesi... come hai detto tu
L'intersezione di una famiglia di insiemi è un insieme che racchiude tutti gli elementi comuni a ciascun elemento della famiglia
Ma se non ci sono elementi... allora qualsiasi oggetto è comune a "tutti" gli elementi, perciò se questa intersezione esistesse conterrebbe "tutto", altro che vuoto
"perplesso":
Ma se non ci sono elementi... allora qualsiasi oggetto è comune a "tutti" gli elementi, perciò se questa intersezione esistesse conterrebbe "tutto", altro che vuoto
Che è esattamente ciò che dice la dispensa che ho linkato. Ma allora se l'insieme ambiente è l'intersezione cercata, perché dice che non esiste? Non sarebbe corretto assegnare [tex]U[/tex] all'intersezione [tex]\bigcap \emptyset[/tex]?
Di preciso non lo so ma penso che sarebbe problematico, per esempio se facciamo come dici tu succede che l'intersezione della famiglia non è contenuta nell'unione della famiglia, che mi sembra un pò un controsenso (almeno nella logica comune) ... ci devo riflettere... 
Credo di aver risolto.
Quando l'intuizione non ci aiuta, usiamo le formule:
[tex]I \cap I = I[/tex] per ogni insieme, anche l'insieme vuoto.
[tex]\emptyset \cap \emptyset = \emptyset[/tex]
La seconda equazione mi dice chi è l'intersezione della famiglia con se stessa, ma a noi non interessa questo, noi vogliamo sapere chi è l'intersezione dei suoi elementi.
Ma se la famiglia non possiede elementi noi non possiamo intersecare un bel niente perché non abbiamo materia prima!
È come se noi tentassimo di fare l'intersezione del nulla con il nulla… vi torna?
Ma adesso sorge un altro problema. Che ne è dell'unione?
Seguendo lo stesso ragionamento neanche lei dovrebbe esistere… ma allora perché è uguale all'insieme vuoto?
Quando l'intuizione non ci aiuta, usiamo le formule:
[tex]I \cap I = I[/tex] per ogni insieme, anche l'insieme vuoto.
[tex]\emptyset \cap \emptyset = \emptyset[/tex]
La seconda equazione mi dice chi è l'intersezione della famiglia con se stessa, ma a noi non interessa questo, noi vogliamo sapere chi è l'intersezione dei suoi elementi.
Ma se la famiglia non possiede elementi noi non possiamo intersecare un bel niente perché non abbiamo materia prima!
È come se noi tentassimo di fare l'intersezione del nulla con il nulla… vi torna?
Ma adesso sorge un altro problema. Che ne è dell'unione?
Seguendo lo stesso ragionamento neanche lei dovrebbe esistere… ma allora perché è uguale all'insieme vuoto?
Ma se la famiglia non possiede elementi noi non possiamo intersecare un bel niente perché non abbiamo materia prima!
Allora se facciamo questo ragionamento non dovrebbe esistere neanche l'unione...perche "chi uniamo?" se non c'è la materia prima?
Già… come ne usciamo?
Nella dispensa quelle affermazioni sono spiegate.
Mettiamola così:
Definizione di unione: [tex]a \in \bigcup \mathcal{F}[/tex] se e solo se esiste [tex]F \in \mathcal{F}[/tex] tale che [tex]a \in F[/tex].
Definizione di intersezione: [tex]a \in \bigcap \mathcal{F}[/tex] se e solo se [tex]a \in F[/tex] per ogni [tex]F \in \mathcal{F}[/tex].
Quindi:
[tex]\bigcup \emptyset = \emptyset[/tex]. Infatti se per assurdo esiste [tex]a \in \bigcup \emptyset[/tex] allora esiste [tex]F \in \emptyset[/tex] tale che [tex]a \in F[/tex], assurdo dato che [tex]\emptyset[/tex] non ha elementi.
Se [tex]\bigcap \emptyset[/tex] esiste allora [tex]\bigcap \emptyset \in \bigcap \emptyset[/tex]. Infatti [tex]\bigcap \emptyset \in F[/tex] per ogni [tex]F \in \emptyset[/tex] (nel senso che se [tex]F \in \emptyset[/tex] - il che è sempre falso - allora [tex]\bigcap \emptyset \in F[/tex]). Questo perlomeno viola l'assioma secondo cui nessun insieme appartiene a se stesso, quindi [tex]\bigcap \emptyset[/tex] non esiste, o meglio se esiste non è un insieme.
Se la cosa vi confonde ricordate com'è definita l'implicazione logica. In particolare, "falso implica vero" è vero.
Mettiamola così:
Definizione di unione: [tex]a \in \bigcup \mathcal{F}[/tex] se e solo se esiste [tex]F \in \mathcal{F}[/tex] tale che [tex]a \in F[/tex].
Definizione di intersezione: [tex]a \in \bigcap \mathcal{F}[/tex] se e solo se [tex]a \in F[/tex] per ogni [tex]F \in \mathcal{F}[/tex].
Quindi:
[tex]\bigcup \emptyset = \emptyset[/tex]. Infatti se per assurdo esiste [tex]a \in \bigcup \emptyset[/tex] allora esiste [tex]F \in \emptyset[/tex] tale che [tex]a \in F[/tex], assurdo dato che [tex]\emptyset[/tex] non ha elementi.
Se [tex]\bigcap \emptyset[/tex] esiste allora [tex]\bigcap \emptyset \in \bigcap \emptyset[/tex]. Infatti [tex]\bigcap \emptyset \in F[/tex] per ogni [tex]F \in \emptyset[/tex] (nel senso che se [tex]F \in \emptyset[/tex] - il che è sempre falso - allora [tex]\bigcap \emptyset \in F[/tex]). Questo perlomeno viola l'assioma secondo cui nessun insieme appartiene a se stesso, quindi [tex]\bigcap \emptyset[/tex] non esiste, o meglio se esiste non è un insieme.
Se la cosa vi confonde ricordate com'è definita l'implicazione logica. In particolare, "falso implica vero" è vero.
Ok. Ora ho capito in che senso "non esiste".
Sarà l'ora, ma non mi torna perché se [tex]F \in \emptyset \Rightarrow \bigcap \emptyset \in F[/tex]...
Sarà l'ora, ma non mi torna perché se [tex]F \in \emptyset \Rightarrow \bigcap \emptyset \in F[/tex]...
"tano_91":Perché "dal falso segue qualsiasi cosa". Cioè, "falso implica vero" e "falso implica falso" sono proposizioni entrambe vere.
Sarà l'ora, ma non mi torna perché se [tex]F \in \emptyset \Rightarrow \bigcap \emptyset \in F[/tex]...
E quindi questa dimostrazione si basa su un "cavillo logico"?
"tano_91":No, si basa sulla definizione di implicazione logica (clic).
E quindi questa dimostrazione si basa su un "cavillo logico"?
Ok, grazie per l'aiuto.
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