F-omomorfismi e estensioni di campi

[dark121it]

Salve a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio:

ESERCIZIO
Sia $F$ un campo, $K$ un estensione di $F$, $a \in K$, $a$ trascendente su $F$.
Denotiamo con
$A$ l'insieme di tutti gli omomorfismi del tipo $\phi:F(a)\toK$ che fissano $F$ (cioè che ristretti ad $F$ sono l'identità)
$B$ l'insieme di tutti gli elementi di $K$ che sono trascendenti su $F$.
Provare che la funzione $f:A \to B$ tale che $ \phi \to \phi(a)$ è bigettiva.

SOLUZIONE (tentativo di)
La mia idea era di provare che $f$ è invertibile.
Ragiono in questo modo: se $b \in B$ allora si può dimostrare che esiste un unico $g:F[x] \to K$ tale che $g(x)=b$ e che fissa $F$.
Siccome $a$ è trascendente su $F$, so che $F[x]$ è isomorfo a $F[a]$ e quindi esiste $\phi:F[a] \to K$ tale che $\phi(x)=b$ e che fissa $F$. Ora dovrei in qualche modo estendere $\phi$ a $F(a)$ usando il fatto che $b$ è trascendente...e qui non so come fare....

[dark121it]

Mah...mi è venuta un idea però non sono molto sicuro.

Comunque: siccome $a,b$ sono trascendenti su $F$ risulta che $F[a]~= F[x]$ e anche $F~= F[x]$. Quindi $F[a]~= F$. Allora anche i quozienti sono isomorfi, ossia $F(a)~= F(b)$ tramite una certa applicazione $h$.
Essendo $F(b)\subset K$ ho finito, perchè basta porre $\phi = j@h$.