$F$-omomorfismi di campi che "fattorizzano attraverso"
Ciao a tutti,
volevo chiedere se qualcuno potesse spiegarmi esattamente cosa significa questa espressione che leggo spesso, ossia quando e' che, data un'estensione $K/F$ di campi, si ha che un $F$-omomorfismo fattorizza attraverso una chiusura di $K$?
Cito un esempio in cui trovo questo termine per contestualizzare il mio problema:
Il mio problema non riguarda quest'ultimo esempio nello specifico, proprio mi sono perso la definizione di "fattorizzare attraverso".
Grazie mille
volevo chiedere se qualcuno potesse spiegarmi esattamente cosa significa questa espressione che leggo spesso, ossia quando e' che, data un'estensione $K/F$ di campi, si ha che un $F$-omomorfismo fattorizza attraverso una chiusura di $K$?
Cito un esempio in cui trovo questo termine per contestualizzare il mio problema:
Sia $K/F$ un'estensione di campi di numeri, vale $|Hom_F(K)| = [K : F]$ e questi $F$-omomorfismi fattorizzano attraverso la chiusura Galoisiana $E$ di $F \sub K$ in $CC$.
Il mio problema non riguarda quest'ultimo esempio nello specifico, proprio mi sono perso la definizione di "fattorizzare attraverso".
Grazie mille
Risposte
Probabilmente vuol dire che l'estensione \(K|F\) si rompe come composizione di due estensioni \(K|E|F\).
O non ho capito niente io oppure non credo sia quello il significato, tra l'altro a questo punto cosa c'entrerebbero gli omomorfismi? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Probabilmente allora significa che ogni omomorfismo di $K$ che fissa $F$ fattorizza attraverso $E$, definito come sopra?
In che senso fattorizza?
Forse significa che ogni automorfismo di $K$ che fissa $F$ lo si puo' scrivere come composizione di automorfismi di $E$ che fissano $F$? (dove $E$ e' una chiusura di $K$).
Non mi ispira tanto, ha un qualche senso?
Forse significa che ogni automorfismo di $K$ che fissa $F$ lo si puo' scrivere come composizione di automorfismi di $E$ che fissano $F$? (dove $E$ e' una chiusura di $K$).
Non mi ispira tanto, ha un qualche senso?
Significa che ogni $\phi : K \to K$ si scrive come $K \to E \to K$
Premettendo che non capisco bene cosa intendi, non credo sia quello.
Un dottorato in teoria delle categorie mi conferisce un po' di autorevolezza a proposito del significato della locuzione "un morfismo fattorizza" 
la cosa significa questo.
la cosa significa questo.
In effetti... 
Comunque ho premesso che non capivo [strike]bene[/strike] quello che intendevi, quindi il mio "non credo sia quello" un po' e' giustificato, vero?
Il problema pero' rimane, continuo a non capire, e nonostante trovi la teoria delle categorie un argomento molto affascinante, al momento sono uno studente della triennale con nessuna conoscenza in proposito e un problema molto piu' pragmatico, quindi ti chiedo se puoi riformulare il tuo
con qualcosa di piu' concreto, possibilmente anche riferendosi all'esempio di contesto che ho scritto all'inizio.
Ti ringrazio per l'aiuto e ti chiedo anche di non preoccuparti di essere pedante che con me non rischi di esserlo.
Comunque ho premesso che non capivo [strike]bene[/strike] quello che intendevi, quindi il mio "non credo sia quello" un po' e' giustificato, vero?
Il problema pero' rimane, continuo a non capire, e nonostante trovi la teoria delle categorie un argomento molto affascinante, al momento sono uno studente della triennale con nessuna conoscenza in proposito e un problema molto piu' pragmatico, quindi ti chiedo se puoi riformulare il tuo
"killing_buddha":
Significa che ogni $ \phi : K \to K $ si scrive come $ K \to E \to K $
con qualcosa di piu' concreto, possibilmente anche riferendosi all'esempio di contesto che ho scritto all'inizio.
Ti ringrazio per l'aiuto e ti chiedo anche di non preoccuparti di essere pedante che con me non rischi di esserlo.
"Pedante" a killing_buddha? Così l'hai offeso sul serio ... 
Oggi proprio non mi esprimo bene, intendevo dire di essere pure pedante con me visto le sue risposte precedenti sono state molto sintetiche e io preferisco leggere qualcosa che trovo magari banale (la vedo dura) che dovere usare l'immaginazione.
Tranquillo, era una battuta ... 
Ma guarda che non serve chissà che scienza per capire la definizione di "fattorizzare". Se lo riesci a capire in un monoide, lo riesci a capire in una categoria. E comunque non serve alcuna pertinenza tecnica, è solo una definizione.
Un morfismo $f : A \to B$ "fattorizza" in una composizione $hg$ quando, appunto, riesci a scrivere $f=hg$. Ciò significa che esistono $g : A\to X$ e $h :X\to B$ che si compongono e danno $f$.
Un morfismo $f : A \to B$ "fattorizza" in una composizione $hg$ quando, appunto, riesci a scrivere $f=hg$. Ciò significa che esistono $g : A\to X$ e $h :X\to B$ che si compongono e danno $f$.
Ahhhh, ho capito adesso, in effetti era azzeccabilissimo. Scusami se ci ho messo un po' e grazie mille. Il tuo "si scrive come $K \to E \to K$" ha perfettamente senso ora.
Ora pero' rimane il problema di capire cosa significa nel contesto del mio primo messaggio, tra l'altro mi sono accorto di aver scritto male, la questione comunque e' questa:
Ho un'estensione $K \sup F$ di campi di numeri e so che $[K]=|Hom_F(K, CC)| = n$, inoltre sia $E$ la chiusura Galoisiana di $K$, si ha che questi $F$-omomorfismi fattorizzano attraverso $E$.
Cioe' ora so che significa che ogni $F$-omomorfismo $\tau$ lo posso scrivere come $\tau: K \to E \to CC$ ma cosa vuol dire questo?
Non dovrebbe essere ovvio siccome $F \sub K \sub E \sub CC$?
Ora pero' rimane il problema di capire cosa significa nel contesto del mio primo messaggio, tra l'altro mi sono accorto di aver scritto male, la questione comunque e' questa:
Ho un'estensione $K \sup F$ di campi di numeri e so che $[K]=|Hom_F(K, CC)| = n$, inoltre sia $E$ la chiusura Galoisiana di $K$, si ha che questi $F$-omomorfismi fattorizzano attraverso $E$.
Cioe' ora so che significa che ogni $F$-omomorfismo $\tau$ lo posso scrivere come $\tau: K \to E \to CC$ ma cosa vuol dire questo?
Non dovrebbe essere ovvio siccome $F \sub K \sub E \sub CC$?
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