Ex esame algebra unipi - gruppo ordine 144
Dimostrare che un gruppo di ordine 144 non può essere semplice (i.e. non ha s.gruppi normali non banali)
Buona fortuna!
Fresco fresco da esame di algebra a Pisa
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Risposte
Sarà che non conosco tutte le tecniche per risolvere questo tipo di esercizi, ma per risolvere questo mi ci è voluto un po'.
[tex]|G|=144=3^2 \cdot 2^4[/tex]. Supponiamo per assurdo $G$ semplice. E' noto che se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice $n$ allora detta $H_G$ l'intersezione dei coniugati di $H$ in $G$, si ha [tex]H_G \unlhd G[/tex] e [tex]G/H_G[/tex] si immerge in $S_n$ (facile generalizzazione del teorema di Cayley). Siccome 144 non divide $5!$, da questo segue che ogni sottogruppo proprio di $G$ ha indice almeno 6 (*).
Segue in particolare dalla teoria di Sylow che ci sono 16 3-Sylow e 9 2-Sylow. Siano $H$ un 3-Sylow, $K$ un 2-Sylow. Dall'equazione delle classi segue che i normalizzanti $N_G(H)$, $N_G(K)$ hanno indice rispettivamente 16 e 9, in altre parole $N_G(H)=H$ e $N_G(K)=K$. Mostriamo che $H$ e $K$ sono massimali in $G$. Se $R$ è un sottogruppo di $G$ tale che $H < R < G$ allora $R$ ha indice 2, 4 oppure 8; d'altra parte non ha indice 2 o 4 per l'osservazione (*), e non ha indice 8 altrimenti $H$ sarebbe normale in $R$, e questo contraddice $H=N_G(H)$. Se $R$ è tale che $K < R < G$ allora $R$ ha indice 3, impossibile per (*).
Siano $H$ e $L$ due 3-Sylow distinti e supponiamo che [tex]T:=H \cap L[/tex] abbia ordine 3. Il normalizzante $N_G(T)$ contiene $H$ e $L$, che sono distinti e massimali, quindi $N_G(T)=G$, cioè [tex]T \unlhd G[/tex], assurdo.
Ne segue che ogni due 3-Sylow distinti si intersecano banalmente. Ma allora i 3-Sylow contengono complessivamente $(9-1)*16=128$ elementi non identici. Restano 16 elementi disponibili, che devono per forza appartenere ad uno dei 2-Sylow (i 2-Sylow hanno ordine 16). In particolare c'è un solo 2-Sylow, assurdo.
[tex]|G|=144=3^2 \cdot 2^4[/tex]. Supponiamo per assurdo $G$ semplice. E' noto che se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice $n$ allora detta $H_G$ l'intersezione dei coniugati di $H$ in $G$, si ha [tex]H_G \unlhd G[/tex] e [tex]G/H_G[/tex] si immerge in $S_n$ (facile generalizzazione del teorema di Cayley). Siccome 144 non divide $5!$, da questo segue che ogni sottogruppo proprio di $G$ ha indice almeno 6 (*).
Segue in particolare dalla teoria di Sylow che ci sono 16 3-Sylow e 9 2-Sylow. Siano $H$ un 3-Sylow, $K$ un 2-Sylow. Dall'equazione delle classi segue che i normalizzanti $N_G(H)$, $N_G(K)$ hanno indice rispettivamente 16 e 9, in altre parole $N_G(H)=H$ e $N_G(K)=K$. Mostriamo che $H$ e $K$ sono massimali in $G$. Se $R$ è un sottogruppo di $G$ tale che $H < R < G$ allora $R$ ha indice 2, 4 oppure 8; d'altra parte non ha indice 2 o 4 per l'osservazione (*), e non ha indice 8 altrimenti $H$ sarebbe normale in $R$, e questo contraddice $H=N_G(H)$. Se $R$ è tale che $K < R < G$ allora $R$ ha indice 3, impossibile per (*).
Siano $H$ e $L$ due 3-Sylow distinti e supponiamo che [tex]T:=H \cap L[/tex] abbia ordine 3. Il normalizzante $N_G(T)$ contiene $H$ e $L$, che sono distinti e massimali, quindi $N_G(T)=G$, cioè [tex]T \unlhd G[/tex], assurdo.
Ne segue che ogni due 3-Sylow distinti si intersecano banalmente. Ma allora i 3-Sylow contengono complessivamente $(9-1)*16=128$ elementi non identici. Restano 16 elementi disponibili, che devono per forza appartenere ad uno dei 2-Sylow (i 2-Sylow hanno ordine 16). In particolare c'è un solo 2-Sylow, assurdo.
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