Ex Cardinalità degli insiemi

[hamming_burst]

Salve, anche se è uno dei miei primi mess (oltre la presentazione), mi servirebbe una mano con questo esercizio a cui ne vengo a capo in parte.

EX:

Sia $A := ZZ$/$._{72ZZ} $ , sia $B := (ZZ$/$._{72ZZ})$* il sottoinsieme di A formato dalle classi invertibili modulo 72 e sia C un sottoinsieme di A-B avente cardinalità 24. Si calcoli la cardinalità dei seguenti insiemi:

1. $X := A - (B uu C)$;
2. $Y := {f in A^A | f(B) = C$ e $f(C) = B}$;
3. $Z := {f in Y | f(X) sub X, |f(A)| = 49}$.



Fin dove sono arrivato:

$|A| = 72$;
$|B| = Phi(72) = Phi(3^2*2^4)= Phi(9-3)*Phi(8-6) = 12 $
$|C| = C sub A-B = 24$

1.$ |BuuC| = |B| + |C| - |B nn C| $
C essendo un sottoinsieme di A\B non ha elementi di B, quindi
$|BnnC| = 0$

quindi
$|BuuC| $ è disgiunto = 12+24-0 = 36

$|A-(BuuC)| = 72 - 36 = 36 $ facile questo.

2. Ecco qua arriva quello che non riesco a risolvere. f(C) e f(B) sono sottoinsiemi, quindi si può fare un bigezione con

$ f: A^{A-B} x A^{A-C} -> A^{A-B} x A^{A-C} $

ma poi non so andare avanti. Forse si può fare una restrizione su B e C, ma non saprei.

3. ho qualche idea, ma non so risolverlo

Sicuramente è quasi tutto sbagliato, ma avendo mille idee in testa (sbagliate), ma questo esercizio proprio non riesco a risolverlo.

Spero in un vostro aiuto.

Ringrazio tantissimo chi risponde.

EDIT:
come consigliato ho editato le formule, spero sia più chiaro ora.

[Lorin1]

prova a mettere le formule matematiche tra "il simbolo del dollaro"

all'inizio e alla fine, e leggiti l'apposito topic sulle formule matematiche....

[hamming_burst]

Ho pensato a come poterlo risolvere, finchè non trovo una soluzione ad un problema continuo a pensarci, quindi posto una nuova soluzione a cui ho pensato e spero me la confermiate.

Es 2.

$ Y:={finA^A|f(B)=C$ e $ f(C)=B}; $ può essere intesto così, come un bigezione senza due i due insemi:

$ Y':={finA-(BuuC)^{A-(BuuC)}}$

quindi:

$ f: A-(BuuC) ->A-(BuuC) $

che puo essere calcolato con: Bigez$(A-(BuuC),A-(BuuC)) = |A-(BuuC)|! = 36! $

ecco penso sia corretto, se B e C li tratto come elementi, ma visto che sono sottoinsiemi, devo sommarli alla bigez di prima, con un'altra funzione.
quindi devo fare una restrizione da C a B e da B a C.

da C a B, visto che che la cardinalità $ |C|>= |B|$ non può esserci un'iniezione, secondo il lemma dei cassetti, allora la cardinalità è 0, o la funzione è surgettiva,
o calcolo tutte le funzioni da C a B con $ B^C = |B|^|C| = 12^24 $

Stesso discorso con la funzione da B a C, ma qua la cardinalità di $|B|<=|C|$ quindi può esserci un'iniezione. Quindi sommando tutto quello che ho pensato, sarà:

Bigez$(A-(BuuC),A-(BuuC))$ x $B^C$ x $Iniez(B,C) = 36! * 12^24 * 24!\(24-12)! $

Spero in un aiuto con questo mostro a cui non trovo una soluzione da solo.