Eulero-Fermat

[Andreas3d]

Buonasera a tutti,
cerco in maniera disperata una buona anima che mi aiuti a capire il perché della soluzione di questo esercizio:

So che dovrebbe essere la a, ma con tutti i ragionamenti possibili che ho fatto non riesco a capire come possa essere corretta perché non mi torna lo stesso resto da entrambe le parti.
chi mi aiuta?
grazie

[YeanlingWaif7]

Scusa se te lo chiedo ma scrivere $([5a]^x)_121=[-241]_121$ è lo stesso di $(5a)^x \mod 121=-241\mod121$ ? Se è così avrei una soluzione

[Andreas3d]

che io sappia si, mi corregga qualcuno se sbaglio.. Io non c'ho dormito, probabilmente sarò troppo fuso per capirlo ma non ci arrivo...illuminami
che sia giusta o meno, ovviamente ti ringrazio già per la risposta

[YeanlingWaif7]

Inizialmente puoi dire che $-241\mod121=(-241+121+121)\mod121=1\mod121$. Quindi $(5a)^x\equiv 1 \mod121$. Per trovare un qualsiasi valore di $a$ e negare così la risposta b ho aggiunto ad 1 il più piccolo multiplo di 121 affinchè il resto sia multiplo di 5 come lo è 5a. Aggiungendo quindi 484 ottieni $(5a)^x\equiv485\mod121$. Ponendo $x=1$ e dividendo per 5 ottieni il primo valore $a=97$. Da cui deduci che b è impossibile. Mi sono accorto che per il punto a ho frainteso la consegna. Scusami. Vedo se mi viene qualche idea

[Pierlu11]

Visto che sia che la risposta è la a), probabilmente il mio ragionamento sarà sbagliato, ma a me verrebbe da usare la funzione di Eulero:

Possiamo riscrivere la congruenza come $ (5a)^x-= _(121)1 $ $ (5a)^x-= _(121)1 $ , poiché $ 5a>1 $ , $ x=phi(121) $ è sempre una soluzione.
$ x=phi(121)=phi(11^2)=11^2-11=110 $ $ AA a $ ...

[Andreas3d]

durante i miei tentativi anche io ho usato il teorema di Eulero facendo il $ φ (121) $ e ho ottenuto $ 110 $; l'ho semplificato ma nonostante ciò provando a moltiplicare $ 5 * 7 $ elevato al $ φ (121) $ non mi torna lo stesso resto di $ [−241mod121] $. Non capisco se ho sbaglio qualcosa nei calcoli o è il procedimento che è errato. Forse si usa qualche altro teorema che non conosco?

[Andreas3d]

forse sto girando attorno al perché, senza accorgermi di averlo sotto mano...
Allora.. perché abbia soluzione questa congruenza, il $5*a (a ∈ N)$ deve avere $MCD((5*a),n)=1$ giusto? ma con quale metodo trovo un numero che moltiplicato per $5$ ha sempre soluzione in $x$?
E' corretto dire che qualsiasi numero, moltiplicato per $5$, a sua volta coprimo con $121$, porta soluzione in $x$?
mi sento confuso..