Estremo superiore/inferiore
$C={2^x : x in RR }$
estremo superiore
si vuole dimostrare superiormente illimitato
applico $AA M>0 EE x in C : x > M $
$2^x > M$
applico $AA x,y in RR^(>0)", se" " " a > 1" " x< y iff log_a x < log_a y$
$log_2 2^x > log_2 M $
$x > log_2 M$
Giusto ?
Poi ?
estremo superiore
si vuole dimostrare superiormente illimitato
applico $AA M>0 EE x in C : x > M $
$2^x > M$
applico $AA x,y in RR^(>0)", se" " " a > 1" " x< y iff log_a x < log_a y$
$log_2 2^x > log_2 M $
$x > log_2 M$
Giusto ?
Poi ?
Risposte
la tesi è
$forallM>0,exists x in mathbbR : 2^x>M$
$2^x>M$ è verificata $forallx>log_2M$ ed il discorso è concluso
$forallM>0,exists x in mathbbR : 2^x>M$
$2^x>M$ è verificata $forallx>log_2M$ ed il discorso è concluso
non si deve verificare l'esistenza di $x$ ?
l'abbiamo verificata
non ne esiste una sola di x,ma infinite : tutte le soluzioni della disequazione

non ne esiste una sola di x,ma infinite : tutte le soluzioni della disequazione
se si voleva dimostrare inferiormente illimitato ?
discorso analogo, ma con $ forallm<0,exists x in mathbbR : 2^x
$2^x
$log_2 2^x < log_2 m$
$x < log_2 m$
giusto ?
Quindi è anche inferiormente illimitato ?
discorso analogo, ma con $ forallm<0,exists x in mathbbR : 2^x
$x < log_2 m$
giusto ?
Quindi è anche inferiormente illimitato ?
dr1,però un po' di studio della teoria non guasterebbe
la funzione esponenziale è una funzione sempre positiva e l'estremo inferiore del suo codominio è lo $0$

la funzione esponenziale è una funzione sempre positiva e l'estremo inferiore del suo codominio è lo $0$
Si , ma seguendo il ragionamento fatto prima
sembrerebbe di avere dimostrato che è inferiormente illimitato.
quindi $x < log_2 m$ non esiste.
Perchè come si verifica l'esistenza ?
"DR1":
non si deve verificare l'esistenza di $x$ ?
"stormy":
l'abbiamo verificata![]()
non ne esiste una sola di x,ma infinite : tutte le soluzioni della disequazione
sembrerebbe di avere dimostrato che è inferiormente illimitato.
quindi $x < log_2 m$ non esiste.
Perchè come si verifica l'esistenza ?
Se $m<0$ non puoi fare $log_2(m)$.
La disequazione $2^x
La disequazione $2^x
Grazie Gi8 , dunque basta vedere se la disequazione ammette soluzioni.
Per trovare l'estremo inferiore di $ C={2^x : x in RR } $ ?
Per trovare l'estremo inferiore di $ C={2^x : x in RR } $ ?
Come ha detto stormy, l'estremo inferiore è $0$.
Certamente si ha $2^x >0$ per ogni $x in RR$.
Rimane da dimostrare che per ogni $epsilon>0$ esiste $x_0 in RR$ tale che $2^{x_0}
Certamente si ha $2^x >0$ per ogni $x in RR$.
Rimane da dimostrare che per ogni $epsilon>0$ esiste $x_0 in RR$ tale che $2^{x_0}
Quindi
$I$ = estremo inferiore
$2^x< I + \epsilon $
$l2^x< 0 + \epsilon $
$log_2 2^x< log_2 \epsilon $
$ x< log_2 \epsilon $
essendo $ \epsilon > 0$ , il logaritmo esiste e la tesi è confermata.
Giusto ?
e se, non era evidente che $ I = 0 $ come lo trovavo ?
$I$ = estremo inferiore
$2^x< I + \epsilon $
$l2^x< 0 + \epsilon $
$log_2 2^x< log_2 \epsilon $
$ x< log_2 \epsilon $
essendo $ \epsilon > 0$ , il logaritmo esiste e la tesi è confermata.
Giusto ?
e se, non era evidente che $ I = 0 $ come lo trovavo ?
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