Estrarre numerabile?

[Gaal Dornick]

A lezione il prof di analisi ha detto:
ho $A$ aperto
allora $A=cup B_k$ cioè A è unione (non necessariamente numerabile) di elementi (opportuni) della base della topologia ($B_k$).
Posso considerare questa unione numerabile, visto che posso estrarre un insieme (di indici) numerabile K tale che $A=cup_(k in K) B_k$..

Perchè? in base a cosa? premetto che non so molto di topologia, e dovrei.. quindi probabilmente si appella a un qualche risultato in questo campo.. magari ditemelo e trovo qualcosa..

Grazie

[Fioravante Patrone1]

"Gaal Dornick":A lezione il prof di analisi ha detto:
ho $A$ aperto
allora $A=cup B_k$ cioè A è unione (non necessariamente numerabile) di elementi (opportuni) della base della topologia ($B_k$).
Posso considerare questa unione numerabile, visto che posso estrarre un insieme (di indici) numerabile K tale che $A=cup_(k in K) B_k$..

Perchè? in base a cosa? premetto che non so molto di topologia, e dovrei.. quindi probabilmente si appella a un qualche risultato in questo campo.. magari ditemelo e trovo qualcosa..

Grazie

essendo un prof di analisi, immagino stesse parlando di $RR$ o $RR^n$

questo spazio topologico ha una base di aperti numerabile, tutto qui

ad esempio, puoi prendere gli "iperparallelepipedi" determinati da intervalli i cui estremi sono razionali

oppure, le iperpalle il cui centro ha tutte le coordinate razionali e i cui raggi sono numeri razionali

[Gaal Dornick]

Si, in $RR^n$$..

Ok perfetto, ci credo ti ringrazio e lo sfrutto nell'esercizio che c'ha dato da fare.. ma, mi potresti dare una dimostrazione? O rimandarmi ad una?

[Fioravante Patrone1]

si dovrebbe trovare su "ogni" libro di topologia - spazi metrici
è una proprietà fondamentale di $RR^n$ come spazio topologico

se cerchi in rete, tieni presente che se una topologia ammette una base numerabile si dice che la topologia soddisfa il secondo assioma di numerabilità (in inglese: "second countable")