Estensioni semplici e numeri algebrici
Temo di avere le idee piuttosto confuse su questi argomenti e sulle loro interazioni...
Qualcuno riesce a darmi qualche dritta per impostare questo esercizio?
Sia $K$ un campo numerico ad $ a in CC$. Dimostrare che $a$ è algebrico in $K(b)$ per i seguenti valori di $b$:
$b=a^3+3*a-1$ ; $b=(a^3-3*a+2)/(a-3)$
Grazie
Qualcuno riesce a darmi qualche dritta per impostare questo esercizio?
Sia $K$ un campo numerico ad $ a in CC$. Dimostrare che $a$ è algebrico in $K(b)$ per i seguenti valori di $b$:
$b=a^3+3*a-1$ ; $b=(a^3-3*a+2)/(a-3)$
Grazie
Risposte
Allora... anch'io ho iniziato da poco a studiare questi argomenti... vediamo se riesco a non dire cavolate...
Un'estensione semplice è tout-court un'estensione mediante un solo elemento.
Dire che [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(b)[/tex] equivale a dire:
i) che esiste un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] che annulla [tex]a[/tex];
ii) che l'estensione [tex](K(b))(a)=:K(b,a)[/tex] è finita sopra [tex]K(b)[/tex].
Veniamo al tuo esercizio. Il primo è piuttosto facile: consideriamo il polinomio [tex]x^3+3x-1-b[/tex] a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]. Ovviamente [tex]a[/tex] è una radice di questo polinomio e quindi [tex]a[/tex] è un elemento algebrico su [tex]K(b)[/tex].
Possiamo facilmente generalizzare:
Un'estensione semplice è tout-court un'estensione mediante un solo elemento.
Dire che [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(b)[/tex] equivale a dire:
i) che esiste un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] che annulla [tex]a[/tex];
ii) che l'estensione [tex](K(b))(a)=:K(b,a)[/tex] è finita sopra [tex]K(b)[/tex].
Veniamo al tuo esercizio. Il primo è piuttosto facile: consideriamo il polinomio [tex]x^3+3x-1-b[/tex] a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]. Ovviamente [tex]a[/tex] è una radice di questo polinomio e quindi [tex]a[/tex] è un elemento algebrico su [tex]K(b)[/tex].
Possiamo facilmente generalizzare:
- Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo e sia [tex]L[/tex] una sua estensione. Se [tex]a \in L[/tex], dimostrare che per ogni [tex]f(X) \in K[X][/tex], [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(f(a))[/tex][/list:u:3l3ij736]
Saresti capace?
Per quanto riguarda il secondo basta considerare il polinomio [tex]x^3+3x-2 - b(x-3) = x^3 + (3-b)x-2+3b[/tex] e controllare che [tex]a[/tex] annulla tale polinomio. In effetti, anche il precedente risultato può essere ulteriormente generalizzato:
- Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo e sia [tex]L[/tex] una sua estensione. Se [tex]a \in L[/tex], dimostrare che per ogni [tex]f(X) \in K(X)[/tex] tale che f(a) sia ben definito, [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(f(a))[/tex][/list:u:3l3ij736]
Saresti capace di dimostrare questo? E di dirmi per quali [tex]a[/tex] la richiesta che [tex]f(a)[/tex] sia ben definito è veramente necessaria e per quali altri invece è superflua?
[size=75]Edit: corretto un errore nel secondo esercizio.[/size]
Temo di avere le idee più confuse del previsto, forse mi manca qualche concetto...
Sai consigliarmi qualche libro di algebra che tratta questi argomenti? Ho cercato un po' sul web, ma è difficile capire se un libro è buono..
Allora
e fin qui ci sono, ma ora ho dei dubbi su come sia fatto un polinomio a coefficienti in $K(b)$...
Allora $K(b)={f(b)/g(b)$ tali che $f(x),g(x) in K[x]$ e $g(b)!=0}$ giusto?
Ma quindi come è fatto un polinomio a coefficienti in $K(b)$?
che confusione... non saprei dimostrare quello che hai scritto!
Sai consigliarmi qualche libro di algebra che tratta questi argomenti? Ho cercato un po' sul web, ma è difficile capire se un libro è buono..
Allora
"maurer":
Dire che [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(b)[/tex] equivale a dire:
i) che esiste un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] che annulla [tex]a[/tex];
e fin qui ci sono, ma ora ho dei dubbi su come sia fatto un polinomio a coefficienti in $K(b)$...
Allora $K(b)={f(b)/g(b)$ tali che $f(x),g(x) in K[x]$ e $g(b)!=0}$ giusto?
Ma quindi come è fatto un polinomio a coefficienti in $K(b)$?
che confusione... non saprei dimostrare quello che hai scritto!
Io studio sul Piacentini-Cattaneo (Algebra, un approccio algoritmico). Un altro buonissimo libro a cui mi appoggio è Abstract Algebra di Dummit e Foote (però è in inglese).
Veniamo a noi. [tex]K(b)[/tex] è formato dagli elementi che dici tu con l'aggiunta che deve essere [tex]g(b) \ne 0[/tex]. Ovviamente se [tex]b[/tex] è trascendente su [tex]K[/tex] la richiesta è superflua, altrimenti è strettamente necessaria. Un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] è semplicemente un polinomio della forma
[tex]\displaystyle \frac{f_0(b)}{g_0(b)} + \frac{f_1(b)}{g_1(b)}X + \ldots + \frac{f_n(b)}{g_n(b)}X^n[/tex]
Ad esempio [tex]b+X[/tex], [tex]b^2+bX[/tex], [tex]\frac{1}{b}+b^3X^2[/tex] sono tutti polinomi a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]. Procediamo con ordine: adesso sapresti dirmi quali tra i seguenti polinomi sono a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]?
1) [tex]b^{100}-\frac{1}{4-b^2}X^5[/tex];
2) [tex]\frac{1+X+X^2}{5+b^2}[/tex]
3) [tex]\sqrt{b}+\sqrt{b}X[/tex]
4) [tex]1-X+X^2[/tex]
Veniamo a noi. [tex]K(b)[/tex] è formato dagli elementi che dici tu con l'aggiunta che deve essere [tex]g(b) \ne 0[/tex]. Ovviamente se [tex]b[/tex] è trascendente su [tex]K[/tex] la richiesta è superflua, altrimenti è strettamente necessaria. Un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] è semplicemente un polinomio della forma
[tex]\displaystyle \frac{f_0(b)}{g_0(b)} + \frac{f_1(b)}{g_1(b)}X + \ldots + \frac{f_n(b)}{g_n(b)}X^n[/tex]
Ad esempio [tex]b+X[/tex], [tex]b^2+bX[/tex], [tex]\frac{1}{b}+b^3X^2[/tex] sono tutti polinomi a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]. Procediamo con ordine: adesso sapresti dirmi quali tra i seguenti polinomi sono a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]?
1) [tex]b^{100}-\frac{1}{4-b^2}X^5[/tex];
2) [tex]\frac{1+X+X^2}{5+b^2}[/tex]
3) [tex]\sqrt{b}+\sqrt{b}X[/tex]
4) [tex]1-X+X^2[/tex]
ok, grazie della pazienza!
Credo che solo 1, 2, 3 siano polinomi a coefficienti in $K(b)$.
Credo che solo 1, 2, 3 siano polinomi a coefficienti in $K(b)$.
Ecco, non è così. I primi due sicuramente sì.
Perché dici che il quarto non è a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]? Ovviamente, essendo [tex]K(b)[/tex] un'estensione di [tex]\mathbb{Q}[/tex], dovrà ben essere [tex]1 \in K(b)[/tex], [tex]-1\in K(b)[/tex], no? Basta prendere i polinomi costanti [tex]f_0(b) = 1[/tex] e [tex]g_0(b) = 1[/tex].
Per quanto riguarda il terzo, non è vero che è a coefficienti in [tex]K(b)[/tex], perché altrimenti dovrebbero esistere due polinomi in [tex]K[X][/tex] tali che
[tex]\sqrt{b} = \frac{f(b)}{g(b)}[/tex]
ossia
[tex]b[g(b)]^2 = [f(b)]^2[/tex]
Sapresti ricavare un'assurdo da questa uguaglianza? (se ti ricordi come si dimostra l'irrazionalità di [tex]\sqrt{2}[/tex], posso dirti che c'è una forte somiglianza formale).
Perché dici che il quarto non è a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]? Ovviamente, essendo [tex]K(b)[/tex] un'estensione di [tex]\mathbb{Q}[/tex], dovrà ben essere [tex]1 \in K(b)[/tex], [tex]-1\in K(b)[/tex], no? Basta prendere i polinomi costanti [tex]f_0(b) = 1[/tex] e [tex]g_0(b) = 1[/tex].
Per quanto riguarda il terzo, non è vero che è a coefficienti in [tex]K(b)[/tex], perché altrimenti dovrebbero esistere due polinomi in [tex]K[X][/tex] tali che
[tex]\sqrt{b} = \frac{f(b)}{g(b)}[/tex]
ossia
[tex]b[g(b)]^2 = [f(b)]^2[/tex]
Sapresti ricavare un'assurdo da questa uguaglianza? (se ti ricordi come si dimostra l'irrazionalità di [tex]\sqrt{2}[/tex], posso dirti che c'è una forte somiglianza formale).
Ci provo...
Supponiamo che $f(b)/g(b)$ sia la frazione ridotta ai minimi termini per cui $f(b)/g(b)=sqrt{b}$, allora $b[g(b)]^2=[f(b)]^2$.
Questo significa che $b$ divide $[f(b)]^2$ e quindi divide $f(b)$ ovvero esiste un polinomio $h(x) in K[X]$ tale che $f(b)=bh(x)$.
Sostituendo avremo $b[g(b)]^2=b^2[h(x)]^2$ ovvero $g(b)=b[h(x)]^2$ e questo significa che $b$ divide anche $g(b)$ e il che è impossibile avendo supposto che $f(b)/g(b)$ fosse una frazione ridotta ai minimi termini.
Potrebbe essere?
Supponiamo che $f(b)/g(b)$ sia la frazione ridotta ai minimi termini per cui $f(b)/g(b)=sqrt{b}$, allora $b[g(b)]^2=[f(b)]^2$.
Questo significa che $b$ divide $[f(b)]^2$ e quindi divide $f(b)$ ovvero esiste un polinomio $h(x) in K[X]$ tale che $f(b)=bh(x)$.
Sostituendo avremo $b[g(b)]^2=b^2[h(x)]^2$ ovvero $g(b)=b[h(x)]^2$ e questo significa che $b$ divide anche $g(b)$ e il che è impossibile avendo supposto che $f(b)/g(b)$ fosse una frazione ridotta ai minimi termini.
Potrebbe essere?
Si è sicuramente corretto. Quindi adesso sei convinta/o che la 3) non è un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex]?
Se sì, prova a ragionare su questo: consideriamo un elemento [tex]a \not \in K[/tex] e sia [tex]f(X) \in K[X][/tex]. Consideriamo [tex]b=f(a)[/tex]. Sapresti trovare un polinomio in [tex]K(f(a))[/tex] una cui radice sia proprio [tex]a[/tex]? (puoi guardare come ho fatto io nel caso particolare del tuo esercizio...)
Se sì, prova a ragionare su questo: consideriamo un elemento [tex]a \not \in K[/tex] e sia [tex]f(X) \in K[X][/tex]. Consideriamo [tex]b=f(a)[/tex]. Sapresti trovare un polinomio in [tex]K(f(a))[/tex] una cui radice sia proprio [tex]a[/tex]? (puoi guardare come ho fatto io nel caso particolare del tuo esercizio...)
Credo che il polinomio cercato sia ad esempio $g(x)=f(X)-b$ ?
Esatto. Quindi hai trovato un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] che ha come radice [tex]a[/tex].
Pertanto, essendo questo il caso, concludiamo che [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(f(a))[/tex]. Come caso particolare troviamo il tuo esercizio, con [tex]f(X) = X^3+3X-1[/tex].
Ora sapresti rifare lo stesso ragionamento per le funzioni razionali a coefficienti in [tex]K[/tex]?
"maurer":
Dire che [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]K(b)[/tex] equivale a dire:
i) che esiste un polinomio a coefficienti in [tex]K(b)[/tex] che si annulla su [tex]a[/tex]
Pertanto, essendo questo il caso, concludiamo che [tex]a[/tex] è algebrico in [tex]K(f(a))[/tex]. Come caso particolare troviamo il tuo esercizio, con [tex]f(X) = X^3+3X-1[/tex].
Ora sapresti rifare lo stesso ragionamento per le funzioni razionali a coefficienti in [tex]K[/tex]?
Intendi per risolvere il secondo esercizio?
In quel caso abbiamo una funzione razionale $f(X)/g(X)$ con $f(X), g(X) in K[X]$. Se consideriamo $a notin K$ e $b=f(a)$ un polinomio in $K(b)$ una cui radice è $a$ potrebbe essere ad esempio $f(x)-g(x)b$ ?
In quel caso abbiamo una funzione razionale $f(X)/g(X)$ con $f(X), g(X) in K[X]$. Se consideriamo $a notin K$ e $b=f(a)$ un polinomio in $K(b)$ una cui radice è $a$ potrebbe essere ad esempio $f(x)-g(x)b$ ?
"manuxy84":
Intendi per risolvere il secondo esercizio?
In quel caso abbiamo una funzione razionale $f(X)/g(X)$ con $f(X), g(X) in K[X]$. Se consideriamo $a notin K$ e $b=f(a)$ un polinomio in $K(b)$ una cui radice è $a$ potrebbe essere ad esempio $f(x)-g(x)b$ ?
Semmai sarà [tex]\displaystyle b = \frac{f(a)}{g(a)}[/tex], giusto
?Sì, è corretto. Visto che non era così difficile? Adesso ti è un po' più chiara la faccenda dei numeri algebrici e trascendenti, oppure no?
Sicuramente è più chiara e ti ringrazio molto!
Ho ordinato il tuo libro, dovrebbe arrivarmi nei prossimi giorni e spero che mi possa servire!!
Purtroppo il fatto che non sia in grado di fare altri esercizi significa che ancora non ho capito bene questo argomento...
Prima di postare altri esercizi aspetto l'arrivo del libro per vedere se mi chiarisce meglio le cose.
Grazie
Ho ordinato il tuo libro, dovrebbe arrivarmi nei prossimi giorni e spero che mi possa servire!!
Purtroppo il fatto che non sia in grado di fare altri esercizi significa che ancora non ho capito bene questo argomento...
Prima di postare altri esercizi aspetto l'arrivo del libro per vedere se mi chiarisce meglio le cose.
Grazie
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