Estensioni quadratiche di un anello
Oggi ho imparato cos'è un'estensione quadratica di un anello e ho tante domande (certamente banali) che non trovano risposta. Ora provo a farne una ....
Sia $ Z $ l'anello dei numeri interi relativi e sia $ u $ un intero che non sia un quadrato. Domanda: per quali valori di $ u $ l'estensione quadratica $ Z[ \sqrt u ] $ è un anello fattoriale/principale/euclideo ? In altri termini se sappiamo che $ u $ è un intero tale che $ Z[ \sqrt u ] $ è fattoriale/principale/euclideo possiamo dire qualche cosa di $ u $ ??
Sia $ Z $ l'anello dei numeri interi relativi e sia $ u $ un intero che non sia un quadrato. Domanda: per quali valori di $ u $ l'estensione quadratica $ Z[ \sqrt u ] $ è un anello fattoriale/principale/euclideo ? In altri termini se sappiamo che $ u $ è un intero tale che $ Z[ \sqrt u ] $ è fattoriale/principale/euclideo possiamo dire qualche cosa di $ u $ ??
Risposte
Ah beh, come prima domanda non c'è male 
(class number 1 significa anello principale, vedi anche qui). Se n'è parlato anche sul forum, qui.
(class number 1 significa anello principale, vedi anche qui). Se n'è parlato anche sul forum, qui.
Accipicchia. 
Ho capito solo he dato un dominio di integrità il suo "class number" è l'ordine del suo "Ideal class group" e siccome
come hai detto tu "class number 1" significa anello principale. Quindi tutto si riduce alla ricerca degli "imaginary quadratic fields" (che sarebbero le estensioni quadratiche dei razionali ??) che hanno class number 1 ?? I dettagli sono un pò difficilini per me ...
Ho capito solo he dato un dominio di integrità il suo "class number" è l'ordine del suo "Ideal class group" e siccome
The ideal class group is trivial (i.e. has only one element) if and only if all ideals of R are principal.
come hai detto tu "class number 1" significa anello principale. Quindi tutto si riduce alla ricerca degli "imaginary quadratic fields" (che sarebbero le estensioni quadratiche dei razionali ??) che hanno class number 1 ?? I dettagli sono un pò difficilini per me ...
"Imaginary quadratic field" (campo quadratico immaginario) significa un'estensione di [tex]\mathbb{Q}[/tex] del tipo [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/tex] dove [tex]d<0[/tex]. Come vedi i campi quadratici immaginari con class number 1 (cioè, il cui anello degli interi è principale) sono stati trovati (cf. qui), ma non si sa ancora quali siano (né quanti siano) quelli reali (cioè quelli con [tex]d>0[/tex]: cf. qui).
Insomma, la tua domanda "certamente banale" (come l'hai definita) è un problema aperto
Insomma, la tua domanda "certamente banale" (come l'hai definita) è un problema aperto
Grazie, ora ho capito. 
Provo a fare un'altra domanda molto più facile.
Sia $ A $ un anello e siano $ m,n \in A $ elementi che non siano quadrati. In generale se $ A[ \sqrt m ] $ è isomorfo a $ A [ \sqrt n ] $ allora $ m=n $ ?? Altrimenti in quali anelli questo è vero ? In $ Z $ è vero ?
Provo a fare un'altra domanda molto più facile. Sia $ A $ un anello e siano $ m,n \in A $ elementi che non siano quadrati. In generale se $ A[ \sqrt m ] $ è isomorfo a $ A [ \sqrt n ] $ allora $ m=n $ ?? Altrimenti in quali anelli questo è vero ? In $ Z $ è vero ?
Non lo so nel caso generale, ma nel caso di [tex]\mathbb{Z}[/tex], se [tex]\mathbb{Z}[\sqrt{n}] \cong \mathbb{Z}[\sqrt{m}][/tex] con [tex]n,m[/tex] non quadrati in [tex]\mathbb{Z}[/tex] allora [tex]m=n[/tex]. Per dimostrarlo osserva che [tex]n \mapsto n[/tex] e vai a cercare gli elementi del tipo [tex]a+b\sqrt{m}[/tex] che elevati al quadrato danno [tex]n[/tex], e viceversa.
mmmh... vediamo se ho capito... Se $ (a+b\sqrt m)^2 = n $ allora $ a=0 $ e $ b^2m=n $ viceversa da $ (c+d\sqrt n)^2 = m $ segue $ c=0 $ e $ d^2n=m $ e quindi $ b^2d^2n=n \rightarrow b^2d^2=1 \rightarrow b=d=\pm 1 $
Solo che al momento non ho capito come mai $ n $ va in $ n $ ?
Solo che al momento non ho capito come mai $ n $ va in $ n $ ?
"perplesso":Perché 1 va in 1 e la somma è preservata.
Solo che al momento non ho capito come mai $ n $ va in $ n $ ?
ah gia... ( profonda vergogna )...
In generale sospetto che sia falso perchè se faccio lo stesso ragionamento di prima
con $ a,b,c,d,m,n $ numeri razionali, ottengo solo che $ m $ e $ n $ devono essere concordi... che è come dire che un campo quadratico reale non è mai isomorfo ad un campo quadratico immaginario
"perplesso":
Se $ (a+b\sqrt m)^2 = n $ allora $ a=0 $ e $ b^2m=n $ viceversa da $ (c+d\sqrt n)^2 = m $ segue $ c=0 $ e $ d^2n=m $ e quindi $ b^2d^2n=n \rightarrow b^2d^2=1 $
con $ a,b,c,d,m,n $ numeri razionali, ottengo solo che $ m $ e $ n $ devono essere concordi... che è come dire che un campo quadratico reale non è mai isomorfo ad un campo quadratico immaginario
Il problema nel caso generale non è tanto quel conto, è il fatto che non necessariamente [tex]n[/tex] è mandato in [tex]n[/tex].
In generale il ragionamento sopra mostra che se [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] sono somme di uni e non quadrati in un dominio di integrità [tex]A[/tex] allora [tex]A[\sqrt{n}] \cong A[\sqrt{m}][/tex] se e solo se [tex]n=u^2 m[/tex] con [tex]u[/tex] un'unità di [tex]A[/tex]. Per esempio [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \mathbb{Q}[\sqrt{8}][/tex]. Ovviamente se [tex]K[/tex] è un campo algebricamente chiuso allora [tex]K[\sqrt{a}]=K[\sqrt{b}] = K[/tex] per ogni [tex]a,b \in K[/tex].
In generale il ragionamento sopra mostra che se [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] sono somme di uni e non quadrati in un dominio di integrità [tex]A[/tex] allora [tex]A[\sqrt{n}] \cong A[\sqrt{m}][/tex] se e solo se [tex]n=u^2 m[/tex] con [tex]u[/tex] un'unità di [tex]A[/tex]. Per esempio [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \mathbb{Q}[\sqrt{8}][/tex]. Ovviamente se [tex]K[/tex] è un campo algebricamente chiuso allora [tex]K[\sqrt{a}]=K[\sqrt{b}] = K[/tex] per ogni [tex]a,b \in K[/tex].
Hai ragione, io invece nel frattempo avevo trovato ( per prove ) che l'applicazione $ f: a+b \sqrt 2 \in Z_{10}[ \sqrt 2] \rightarrow a+2b \sqrt 3 \in Z_{10}[ \sqrt 3] $ è un isomorfismo (se non ho sbagliato i conti ) fra $ Z_{10}[ \sqrt 2] $ e $ Z_{10}[ \sqrt 3] $
) fra $ Z_{10}[ \sqrt 2] $ e $ Z_{10}[ \sqrt 3] $
Vorrei solo aggiungere che il problema del numero di classi ha applicazioni sensazionali: dato un primo [tex]p[/tex], se [tex]\mathbb{Z}[e^{2 \pi i/p}][/tex] è un UFD (dominio a fattorizzazione unica) allora [tex]x^p+y^p=z^p[/tex] non ha soluzioni intere non banali (questo si dimostra partendo dall'uguaglianza [tex]y \cdot ... \cdot y = y^p = z^p-x^p = (z-x)(z-e^{2 \pi i/p} x) ... (z-e^{2(p-1) \pi i/p}x)[/tex] - si tratta di due fattorizzazioni distinte dello stesso elemento!). In particolare se tutte le estensioni ciclotomiche avessero numero di classi uguale a 1 seguirebbe nientemeno che l'ultimo teorema di Fermat. Sfortunatamente le estensioni ciclotomiche con numero di classi 1 sono solo quarantasei (!), cf. qui.
"perplesso":
nel frattempo avevo trovato ( per prove ) che l'applicazione $ f: a+b \sqrt 2 \in Z_{10}[ \sqrt 2] \rightarrow a+2b \sqrt 3 \in Z_{10}[ \sqrt 3] $ è un isomorfismo (se non ho sbagliato i conti
Gli anelli $ Z_{10}[ \sqrt 2] $ e $ Z_{10}[ \sqrt 3]$ sono isomorfi, ma l'omomorfismo indicato non e' un
isomorfismo. Infatti, l'elemento $5\sqrt{2}$ sta nel nucleo.
Un isomorfismo e' data dall'applicazione
$ f: a+b \sqrt 2 \in Z_{10}[ \sqrt 2] \rightarrow a+b(3 \sqrt 3+5) \in Z_{10}[ \sqrt 3] $.
Vabè avrò sbagliato qualche conto pazienza, grazie per la correzione! 
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