Estensioni puramente inseparabili

[plum]

Ciao a tutti, c'è un passaggio di un teorema che non mi torna. Si ha un'estensione \(K/F\) finita e puramente inseparabile e un'altra estensione finita \(N/F\) di Galois con $\text{char}(F)=p>0$. Il teorema prosegue mostrando che $K\cap N=F$ poiché \(K/F\) è puramente inseparabile e \(N/F\) è separabile. Per un teorema precedente si ha che $[KN]=[K]$ e a questo punto il libro afferma che \(KN/N\) è puramente inseparabile (senza dimostrarlo). Qualcuno saprebbe dimostrare questa affermazione? Dovrebbe essere immediato, visto che viene dato per buono, ma io non riesco a venirne a capo

[Studente Anonimo]

Benvenuto nel forum.

Per mostrare che [tex]\langle K, N \rangle/N[/tex] è puramente inseparabile basta prendere un elemento [tex]a \in \langle K, N \rangle[/tex] e trovare [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]a^{p^n} \in N[/tex]. Se [tex]a \in N[/tex] basta prendere [tex]n=0[/tex], se [tex]a \in K[/tex] questo segue dal fatto che [tex]K/F[/tex] è puramente inseparabile, e se [tex]a \not \in N,K[/tex] basta usare il fatto che l'elevamento alla [tex]p[/tex] è un omomorfismo.

[plum]

Intanto grazie per la tempestiva risposta e per il benvenuto. Purtroppo la questione non mi è ancora chiara: se [tex]a \notin NK[/tex] e applico l'omomorfismo $\varphi(a)=a^p$ ottengo un elemento che continua a priori ad appartenere a $NK$. L'unica cosa che mi viene in mente è di prendere [tex]\varphi^{[K]} \in\text{Gal}(NK/K)[/tex] ma mi sembra una strada senza uscita e un po' troppo elaborata per non essere specificata dal libro. Mi spiace (e anche un po' mi secca) non riuscire a capire la soluzione che mi hai suggerito, ma proprio non riesco a pensare a nulla di concludente.

[Studente Anonimo]

Vuoi dimostrare che [tex]KN/N[/tex] è puramente inseparabile. Per [tex]KN[/tex] immagino tu intenda il campo generato da [tex]K[/tex] e [tex]N[/tex]. Io lo chiamerei [tex]\langle K,N \rangle[/tex].

Puoi usare il fatto che (*) un'estensione [tex]A/B[/tex] di caratteristica [tex]p > 0[/tex] è puramente inseparabile se e solo se per ogni elemento [tex]b \in B[/tex] esiste [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]b^{p^n} \in A[/tex].

Osserva che ogni elemento di [tex]\langle K,N \rangle[/tex] è del tipo [tex]f(k,n)[/tex] dove [tex]k \in K, n \in N[/tex] e [tex]f[/tex] è una frazione di due polinomi (in altre parole, un elemento generico di [tex]\langle K,N \rangle[/tex] si ottiene applicando tutte le possibili operazioni "di campo": somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione per elementi non nulli). Siccome l'elevamento alla [tex]p[/tex] è un omomorfismo, in generale hai quindi che [tex]f(k,n)^{p^m} = f(k^{p^m},n^{p^m})[/tex]. Osserva che se [tex]k^{p^m},n^{p^m} \in N[/tex] allora anche [tex]f(k^{p^m},n^{p^m}) \in N[/tex] (se partendo da due elementi fai operazioni di campo rimani dentro al campo). Ne segue che per dimostrare che [tex]\langle K,N \rangle[/tex] è puramente inseparabile è sufficiente mostrare che[tex]K/F[/tex] e [tex]N/N[/tex] lo sono. Che [tex]N/N[/tex] lo sia è ovvio, e che [tex]K/F[/tex] lo sia è vero per ipotesi.

[plum]

Si, con $KN$ intendo [tex]\langle K,N\rangle[/tex] per alleggerire un po' la scrittura. Sarei sostanzialmente d'accordo con quanto tu affermi (la cosa mi torna e non vedo inghippi) se non fosse che il lemma cita così:
"Let $K$ be a finite dimensional, purely inseparable extension of $F$. If $a\in K$, then $a^{[K]}\inF$. More generally, if $N$ is a finite dimensional, Galois extension of $F$ and if [tex]a\in\langle K,N\rangle[/tex], then $a^{[K]}\inN$."
Se ora prendo un'estensione finita arbitraria $L$$/$$F$ (non necessariamente di Galois) posso applicare il ragionamento che mi hai suggerito e affermare che [tex]\forall a=\frac{f(l,k)}{g(l,k)}\in \langle K,L\rangle[/tex] vale
$a^{[K]}=\frac{f(l^{[K]},k^{[K]})}{g(l^{[K]},k^{[K]})}\in L$ poiché per la prima parte del lemma $k^{[K]}\inF$. Ma allora l'ipotesi (del lemma) che [tex]N/F[/tex] sia di Galois risulterebbe superflua...

[Studente Anonimo]

Beh, ma non è vero che [tex]a^{[K]} = \frac{f(l^{[K]},k^{[K]})}{g(l^{[K]},k^{[K]})}[/tex] se [tex][K][/tex] non è una potenza della caratteristica. Ricorda che ho usato in modo essenziale il fatto che elevare alla p è un omomorfismo di campi.

[plum]

Ma [tex]K/F[/tex] è finito e puramente inseparabile, dunque $[K]=p^m$ per qualche m (il polinomio minimo di un elemento $a$ puramente inseparabile è $p(x)=(x-a)^{p^m}$)

[Studente Anonimo]

Giusto, hai ragione.

Mi pare che l'ipotesi che l'estensione sia di Galois non serva. Sicuro che non l'abbiano messa giusto "per non sbagliare"? (Capita che si abbondi con le ipotesi per mantenere confidenza coi concetti). Ma è possibilissimo che mi sbagli. Dove hai trovato questo teorema? Su un libro? Se sì che libro è? Se è su una dispensa in rete puoi segnalarci il link?

[plum]

Probabilmente hai ragione: il lemma è funzionale a un teorema successivo in cui si ha un'estensione finita di Galois [tex]N/F[/tex], il che spiegherebbe perché nel lemma venga usata proprio la lettera $N$ al posto della più comune $L$ (nel teorema $N$ è una chiusura normale). Scrivo comunque il titolo del libro, se mai interessasse a qualcuno: Field Galois Theory di Patrick Morandi, lemma 8.10 e teorema 8.12. Grazie ancora per l'aiuto, ora comincio a vederci un po' più chiaro