Estensioni, polinomi minimi e gradi...
Eccomi ancora alle prese con dimostrazioni di algebra che riguardano questi argomenti... a quanto pare proprio non riesco a farmeli entrare in testa.. 
Sia $a$ algebrico su $K$ ed $E$ un'estensione di $K$. Dimostrare che nei due seguenti casi il polinomio minimo di $a$ su $K$ è anche il polinomio minimo su $E$:
1) $[E : K]$ è primo con il grado di $a$ su $K$
2) $E=K(s)$ con $s$ trascendente
1) Ho cercato e ricercato risposte tra i teoremi e le dimostrazioni sui libri, ma non riesco a collegare i pezzi...
Allora,essendo $K sube E$ un'estensione di campi, se $a$ è un numero algebrico su $K$ (non necessariamente in $E$) è anche algebrico su $E$, visto che ogni polinomio a coefficienti in $K$ è anche un polinomio a coefficienti in $E$. Il polinomio minimo dell'elemento $a$ su $K$ è irriducibile in $K[x]$,ma non è detto che sia irriducibile come polinomio in $E[x]$: più in generale il polinomio minimo di $a$ su $E$ è un divisore del polinomio minimo di $a$ su $K$, quindi il suo grado è minore o uguale al grado di $a$ su $K$.
So anche che se $K sube E$ è un'estensione di campi e se $[E]$ è un numero finito allora ogni elemento $a in E$ è algebrico su $K$ e il grado del polinomio minimo di $a$ su $K$ divide $[E]$, ma nel mio caso non è specificato che $a in E$, quindi non credo di poter utilizzare questa affermazione. E poi nel mio caso i due risultano primi tra loro...
Se $a notin K$ e $a in E$, allora il polinomio minimo $f(x) in K[x]$ di $a$ su $K$ non è di grado 1 e se lo consideriamo come polinomio in $E[x]$ esso è divisibile per il polinomio $x-a$ che è il polinomio minimo di $a$ su $E$.
So anche che se $a$ è algebrico su $K$ allora il grado del suo polinomio minimo è uguale al grado dell'estensione algebrica semplice $K(a)$.
Tutto questo però non mi aiuta....
2) Del secondo caso riesco solo a dire che $K(s)$ è un'estensione infinita
Sia $a$ algebrico su $K$ ed $E$ un'estensione di $K$. Dimostrare che nei due seguenti casi il polinomio minimo di $a$ su $K$ è anche il polinomio minimo su $E$:
1) $[E : K]$ è primo con il grado di $a$ su $K$
2) $E=K(s)$ con $s$ trascendente
1) Ho cercato e ricercato risposte tra i teoremi e le dimostrazioni sui libri, ma non riesco a collegare i pezzi...
Allora,essendo $K sube E$ un'estensione di campi, se $a$ è un numero algebrico su $K$ (non necessariamente in $E$) è anche algebrico su $E$, visto che ogni polinomio a coefficienti in $K$ è anche un polinomio a coefficienti in $E$. Il polinomio minimo dell'elemento $a$ su $K$ è irriducibile in $K[x]$,ma non è detto che sia irriducibile come polinomio in $E[x]$: più in generale il polinomio minimo di $a$ su $E$ è un divisore del polinomio minimo di $a$ su $K$, quindi il suo grado è minore o uguale al grado di $a$ su $K$.
So anche che se $K sube E$ è un'estensione di campi e se $[E]$ è un numero finito allora ogni elemento $a in E$ è algebrico su $K$ e il grado del polinomio minimo di $a$ su $K$ divide $[E]$, ma nel mio caso non è specificato che $a in E$, quindi non credo di poter utilizzare questa affermazione. E poi nel mio caso i due risultano primi tra loro...
Se $a notin K$ e $a in E$, allora il polinomio minimo $f(x) in K[x]$ di $a$ su $K$ non è di grado 1 e se lo consideriamo come polinomio in $E[x]$ esso è divisibile per il polinomio $x-a$ che è il polinomio minimo di $a$ su $E$.
So anche che se $a$ è algebrico su $K$ allora il grado del suo polinomio minimo è uguale al grado dell'estensione algebrica semplice $K(a)$.
Tutto questo però non mi aiuta....
2) Del secondo caso riesco solo a dire che $K(s)$ è un'estensione infinita
Risposte
Ci ritroviamo ancora una volta...
Partiamo con il primo...
Non ho letto per filo e per segno tutto quello che hai scritto, ma ad occhio ci sei quasi. Dai, ti manca praticamente un'osservazione!
Come giustamente osservi, [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]E[/tex]. Quindi [tex][E[a]:E][/tex] è finito. Non ti viene in mente nessun modo di collegare la quantità [tex][E[a]:E][/tex] ad altre quantità "notevoli" del problema?
Partiamo con il primo...
Non ho letto per filo e per segno tutto quello che hai scritto, ma ad occhio ci sei quasi. Dai, ti manca praticamente un'osservazione!
Come giustamente osservi, [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]E[/tex]. Quindi [tex][E[a]:E][/tex] è finito. Non ti viene in mente nessun modo di collegare la quantità [tex][E[a]:E][/tex] ad altre quantità "notevoli" del problema?
Quello che mi viene in mente è che $[E(a) : E]$ è uguale al grado del polinomio minimo di $a$ su $E$, così come $[K(a) : K]$ è uguale al grado del polinomio minimo di $a$ su $K$.
Un'altra cosa che mi viene in mente è che essendo $K sube E sube E(a)$ risulta $[E(a) : K] = [E : K] [E(a) : E]$
proprio non ci siamo...
Un'altra cosa che mi viene in mente è che essendo $K sube E sube E(a)$ risulta $[E(a) : K] = [E : K] [E(a) : E]$
proprio non ci siamo...
Cosa sai dire sul rapporto tra $E(a)$ e $K(a)$?
Ok. Questa osservazione è molto utile: sei riuscita a legare [tex][E][/tex], su cui hai delle informazioni, con [tex][E[a]:E][/tex], su cui farebbe comodo avere delle informazioni.
Devi fare ancora un piccolo sforzo. Non ti viene in mente nessun campo intermedio "furbo" tra [tex]K[/tex] e [tex]E[a][/tex], a parte [tex]E[/tex] (che hai già usato)?
Devi fare ancora un piccolo sforzo. Non ti viene in mente nessun campo intermedio "furbo" tra [tex]K[/tex] e [tex]E[a][/tex], a parte [tex]E[/tex] (che hai già usato)?
Beh, direi che apatriarca ha svelato la soluzione... sarebbe stato forse meglio se ci fossi arrivata tu, ma adesso riesci a concludere?
Ma allora sono proprio stordita forte...
Non ho capito che rapporto c'è tra $E(a)$ e $K(a)$ e non so concludere...
Non ho capito che rapporto c'è tra $E(a)$ e $K(a)$ e non so concludere...
Metto il prossimo suggerimento in uno spoiler questa volta. Ti consiglio di rileggere bene anche il post di maurer e se proprio non ci arrivi leggi il prossimo aiuto.
$E(a) : E$ è minore o ugiale di $K(a) : K$
$K sube K(a) sube E(a)$ e questo significa anche che $[E(a) : K]=[E(a) : K(a)][K(a) : K]$
Ho anche pensato di sostituire $[E(a) : K]$ con quello che ho trovato prima e ottengo
$[E : K][E(a) : E]=[E(a) : K(a)][K(a) : K]$
però non ci sono...
$K sube K(a) sube E(a)$ e questo significa anche che $[E(a) : K]=[E(a) : K(a)][K(a) : K]$
Ho anche pensato di sostituire $[E(a) : K]$ con quello che ho trovato prima e ottengo
$[E : K][E(a) : E]=[E(a) : K(a)][K(a) : K]$
però non ci sono...
Prova a ragionare sulla tua ipotesi ($[E]$ primo con il grado di $a$ su $K$) e sulla tua tesi (polinomio minimo di $a$ su $K$ uguale al polinomio minimo di $a$ su $E$). Come esprimeresti queste due proposizioni in termini di estensioni? Che conseguenze hanno sull'espressione da te scritta nell'ultimo post?
la tesi sarebbe $[K(a) : K] = [E(a) : E]$
L'ipotesi sarebbe che il massimo comune divisore tra $[E : K]$ e $[K(a) : K]$ è 1, cioè nessuno dei due divide l'altro.
Se $[E : K]$ è maggiore di $[K(a) : K]$ e se $[E(a) : E]$ è minore o uguale a $[K(a) : K]$ credo che l'unico modo per rispettare l'uguaglianza sia $[K(a) : K] = [E(a) : E]$, ma non so come dimostrarlo.
L'ipotesi sarebbe che il massimo comune divisore tra $[E : K]$ e $[K(a) : K]$ è 1, cioè nessuno dei due divide l'altro.
Se $[E : K]$ è maggiore di $[K(a) : K]$ e se $[E(a) : E]$ è minore o uguale a $[K(a) : K]$ credo che l'unico modo per rispettare l'uguaglianza sia $[K(a) : K] = [E(a) : E]$, ma non so come dimostrarlo.
Beh, [tex][E][/tex] è primo con [tex][K[a]:K][/tex], quindi deve dividere [tex][E[a]:F[a]][/tex], ossia [tex][E[a]:F[a]] = [E] k[/tex], da cui
[tex][E[a]:E] = k[F[a]:F][/tex]. Ma adesso, come avevi giustamente osservato il polinomio minimo su E deve dividere quello su F e quindi [tex][E[a]:E] \le [F[a]:F][/tex], da cui [tex]k = 1[/tex].
[tex][E[a]:E] = k[F[a]:F][/tex]. Ma adesso, come avevi giustamente osservato il polinomio minimo su E deve dividere quello su F e quindi [tex][E[a]:E] \le [F[a]:F][/tex], da cui [tex]k = 1[/tex].
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