Estensioni galoisiane radicali e gruppi risolubili
Ciao a tutti,
sono nuovo del forum.
Scrivo perchè ho un problema con un teorema... tale teorema afferma che se $M|K$ è un'estensione galoisiana e radicale, allora $Gal(M|K)$ è risolubile.
Devo necessariamente includere un pezzo di dimostrazione per chiarirvi il mio dubbio, se qualcuno vorrà rispondere, nel qual caso lo ringrazio.
Dim: siccome $M$ è radicale, sarà $M=K[a_1,\ldots,a_n]$ con ${a_i}^{p_i}\in K[a_1,\ldots,a_{n-1}]$ e $p_i$ primo. Sia $n$ il minimo numero per cui vale questa scrittura; ragioniamo per induzione su $n$ e poniamo $a=a_1$ e $p=p_1$. Qui la dimostrazione si divide in 2 casi:
Caso 1: $K$ contiene le radici $p-$esime dell'unità. Allora considero $L=K[a]$ con $L$ campo di spezzamento di $x^p-a^p$ e, per un teorema dimostrato in precedenza (che presuppone che $K$ contenga le radici $p-$esime) ho che $Gal(L|K)$ è ciclico quindi abeliano quindi risolubile. Ora, sia vero per $n-1$ e vediamo cosa succede per $n$. Si ha $M|L$ e $L|K$ e qui viene uno dei pezzi che mi sfugge: $Gal(M|L)$ è normale in $Gal(M|K)$. Perchè? [Darò alla fine le mie presunte risposte o idee] La dimostrazione prosegue
$Gal(L|K)\sim \frac{Gal(M|K)}{Gal(M|L)}$
e questo sono riuscito a dimostrarlo con un ragionamento sugli ordini ed indici, ma non c'è una ragione più "galoisiana" per questo fatto?
Poi si procede con i soliti teoremi sui risolubili e con l'induzione e l'asserto è provato.
Caso 2) $K$ non contiene le radici $p-$esime dell'unità.
Allora sia $\xi$ una radice $p-$esima di 1, $\xi\neq1$, e cosideriamo le estensioni $M[\xi]|K[a,\xi], K[a,\xi]|K[\xi], K[\xi]|K$ e $M[\xi]|M, M|K$; la dimostrazione prosegue con una serie di quozienti del tutto analoga alla precedente, in cui compare il fatto che $Gal(M[\xi]|M)$ è risolubile. Perchè?
Infine appare che $Gal(M[\xi]|K[\xi,a])$ è risolubile, mettendo come motivazione "$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". E quindi? La dimostrazione finisce qui.
Le mie possibili risposte alle domande che mi sono posto sono che
1) $Gal(M|L)$ è normale in $Gal(M|K)$ per qualcosa che deve dipendere dal teorema fondamentale di Galois, ma ogni mio tentativo di ricondurre una delle estensioni alla forma $K^N$ con $N$ normale in $Gal(M|K)$ si è rivelato vano.
2) $Gal(M[\xi]|M)$ è risolubile: mi verrebbe da usare il teorema citato prima sulla ciclicità del fruppo di Galois, ma $M$ non contiene le radici dell'unità quindi non posso usarlo!
3)"$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". qui non so davvero casa dire. In che modo la radicalità di un'estensione mi da indizi sulla risolubilità del gruppo di Galois?
Non so se sono stato chiaro, del resto ho scritto tutto in fretta e furia. Sono a disposizione per chiarimenti, casomai.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi!
sono nuovo del forum.
Scrivo perchè ho un problema con un teorema... tale teorema afferma che se $M|K$ è un'estensione galoisiana e radicale, allora $Gal(M|K)$ è risolubile.
Devo necessariamente includere un pezzo di dimostrazione per chiarirvi il mio dubbio, se qualcuno vorrà rispondere, nel qual caso lo ringrazio.
Dim: siccome $M$ è radicale, sarà $M=K[a_1,\ldots,a_n]$ con ${a_i}^{p_i}\in K[a_1,\ldots,a_{n-1}]$ e $p_i$ primo. Sia $n$ il minimo numero per cui vale questa scrittura; ragioniamo per induzione su $n$ e poniamo $a=a_1$ e $p=p_1$. Qui la dimostrazione si divide in 2 casi:
Caso 1: $K$ contiene le radici $p-$esime dell'unità. Allora considero $L=K[a]$ con $L$ campo di spezzamento di $x^p-a^p$ e, per un teorema dimostrato in precedenza (che presuppone che $K$ contenga le radici $p-$esime) ho che $Gal(L|K)$ è ciclico quindi abeliano quindi risolubile. Ora, sia vero per $n-1$ e vediamo cosa succede per $n$. Si ha $M|L$ e $L|K$ e qui viene uno dei pezzi che mi sfugge: $Gal(M|L)$ è normale in $Gal(M|K)$. Perchè? [Darò alla fine le mie presunte risposte o idee] La dimostrazione prosegue
$Gal(L|K)\sim \frac{Gal(M|K)}{Gal(M|L)}$
e questo sono riuscito a dimostrarlo con un ragionamento sugli ordini ed indici, ma non c'è una ragione più "galoisiana" per questo fatto?
Poi si procede con i soliti teoremi sui risolubili e con l'induzione e l'asserto è provato.
Caso 2) $K$ non contiene le radici $p-$esime dell'unità.
Allora sia $\xi$ una radice $p-$esima di 1, $\xi\neq1$, e cosideriamo le estensioni $M[\xi]|K[a,\xi], K[a,\xi]|K[\xi], K[\xi]|K$ e $M[\xi]|M, M|K$; la dimostrazione prosegue con una serie di quozienti del tutto analoga alla precedente, in cui compare il fatto che $Gal(M[\xi]|M)$ è risolubile. Perchè?
Infine appare che $Gal(M[\xi]|K[\xi,a])$ è risolubile, mettendo come motivazione "$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". E quindi? La dimostrazione finisce qui.
Le mie possibili risposte alle domande che mi sono posto sono che
1) $Gal(M|L)$ è normale in $Gal(M|K)$ per qualcosa che deve dipendere dal teorema fondamentale di Galois, ma ogni mio tentativo di ricondurre una delle estensioni alla forma $K^N$ con $N$ normale in $Gal(M|K)$ si è rivelato vano.
2) $Gal(M[\xi]|M)$ è risolubile: mi verrebbe da usare il teorema citato prima sulla ciclicità del fruppo di Galois, ma $M$ non contiene le radici dell'unità quindi non posso usarlo!
3)"$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". qui non so davvero casa dire. In che modo la radicalità di un'estensione mi da indizi sulla risolubilità del gruppo di Galois?
Non so se sono stato chiaro, del resto ho scritto tutto in fretta e furia. Sono a disposizione per chiarimenti, casomai.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi!
Risposte
Benvenuto nel forum. 
Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois (ma vedi la risposta alla domanda successiva): se [tex]M \mid K[/tex] è galoisiana, allora [tex]L \mid K[/tex] è galoisiana se e solo se [tex]\text{Gal}(M \mid L)[/tex] è normale in [tex]\text{Gal}(L \mid K)[/tex].
Hai un morfismo naturale [tex]\text{Gal}(M/K) \to \text{Gal}(L/K)[/tex]: visto che [tex]L[/tex] è di Galois, ti basta mandare [tex]\sigma \in \text{Gal}(M/K)[/tex] in [tex]\sigma|_L[/tex] e quello che ottieni è un morfismo di gruppi.
E' suriettivo? Sì, perché sappiamo che c'è un teorema che ci garantisce che possiamo estendere gli embedding di un'estensione di campi ad automorfismi della chiusura algebrica (o ad un'estensione finita e normale contenente la data estensione iniziale, nel qual caso sappiamo anche contare il numero di estensioni differenti).
Chi è il nucleo? Evidentemente è formato dagli automorfismi [tex]\sigma[/tex] tali che [tex]\sigma_L = \text{id}_L[/tex], ossia [tex]\text{Gal}(M/L)[/tex]. Il primo teorema di isomorfismo conclude (e peraltro ti dimostra anche che [tex]\text{Gal}(M/L)[/tex] è normale in [tex]\text{Gal}(M/K)[/tex]; il tutto è dentro al mio enunciato del teorema di corrispondenza).
Sei d'accordo che [tex]M[\xi]/M[/tex] è di Galois? In tal caso considera il diagramma di estensioni
[tex]\xymatrix{ & M[\xi] \\ M \ar@{-}[ur] \ar@{-}[dr] & & \mathbb Q[\xi] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[dl] \\ & M \cap \mathbb Q[\xi] \\ & \mathbb Q \ar@{-} }[/tex]
Considera l'applicazione [tex]\text{Gal}(M[\xi]/M) \to \text{Gal}(\mathbb Q[\xi] / M \cap \mathbb Q[\xi])[/tex] definita di nuovo dalla restrizione. E' ben definita perché [tex]\mathbb Q[\xi][/tex] è di Galois su [tex]\mathbb Q[/tex]. E' iniettiva: se [tex]\varphi \in \text{Gal}(M[\xi]/M)[/tex] è tale che [tex]\varphi |_{\mathbb Q[\xi]} = \text{id}_{\mathbb Q[\xi]}[/tex] allora hai che [tex]\varphi[/tex] è l'identità su [tex]M[/tex] (per definizione!) e fissa [tex]\xi[/tex], quindi è l'identità di [tex]M[\xi][/tex]. Segue che [tex]\text{Gal}(M[\xi]/M) \subset \text{Gal}(\mathbb Q[\xi]/ M \cap \mathbb Q[\xi]) \subset \text{Gal}(\mathbb Q[\xi]/\mathbb Q)[/tex], e visto che le estensioni ciclotomiche sono abeliane...
Dovrebbe essere un'applicazione del caso 1), perché adesso [tex]K[\xi][/tex] ha le radici dell'unità che vuoi...
"mralfatron87":
Ora, sia vero per $n-1$ e vediamo cosa succede per $n$. Si ha $M|L$ e $L|K$ e qui viene uno dei pezzi che mi sfugge: $Gal(M|L)$ è normale in $Gal(M|K)$. Perchè?
Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois (ma vedi la risposta alla domanda successiva): se [tex]M \mid K[/tex] è galoisiana, allora [tex]L \mid K[/tex] è galoisiana se e solo se [tex]\text{Gal}(M \mid L)[/tex] è normale in [tex]\text{Gal}(L \mid K)[/tex].
"mralfatron87":
$Gal(L|K)\sim \frac{Gal(M|K)}{Gal(M|L)}$
e questo sono riuscito a dimostrarlo con un ragionamento sugli ordini ed indici, ma non c'è una ragione più "galoisiana" per questo fatto?
Hai un morfismo naturale [tex]\text{Gal}(M/K) \to \text{Gal}(L/K)[/tex]: visto che [tex]L[/tex] è di Galois, ti basta mandare [tex]\sigma \in \text{Gal}(M/K)[/tex] in [tex]\sigma|_L[/tex] e quello che ottieni è un morfismo di gruppi.
E' suriettivo? Sì, perché sappiamo che c'è un teorema che ci garantisce che possiamo estendere gli embedding di un'estensione di campi ad automorfismi della chiusura algebrica (o ad un'estensione finita e normale contenente la data estensione iniziale, nel qual caso sappiamo anche contare il numero di estensioni differenti).
Chi è il nucleo? Evidentemente è formato dagli automorfismi [tex]\sigma[/tex] tali che [tex]\sigma_L = \text{id}_L[/tex], ossia [tex]\text{Gal}(M/L)[/tex]. Il primo teorema di isomorfismo conclude (e peraltro ti dimostra anche che [tex]\text{Gal}(M/L)[/tex] è normale in [tex]\text{Gal}(M/K)[/tex]; il tutto è dentro al mio enunciato del teorema di corrispondenza).
"mralfatron87":
Caso 2) $K$ non contiene le radici $p-$esime dell'unità.
Allora sia $\xi$ una radice $p-$esima di 1, $\xi\neq1$, e cosideriamo le estensioni $M[\xi]|K[a,\xi], K[a,\xi]|K[\xi], K[\xi]|K$ e $M[\xi]|M, M|K$; la dimostrazione prosegue con una serie di quozienti del tutto analoga alla precedente, in cui compare il fatto che $Gal(M[\xi]|M)$ è risolubile. Perchè?
Infine appare che $Gal(M[\xi]|K[\xi,a])$ è risolubile, mettendo come motivazione "$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". E quindi? La dimostrazione finisce qui.
Sei d'accordo che [tex]M[\xi]/M[/tex] è di Galois? In tal caso considera il diagramma di estensioni
[tex]\xymatrix{ & M[\xi] \\ M \ar@{-}[ur] \ar@{-}[dr] & & \mathbb Q[\xi] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[dl] \\ & M \cap \mathbb Q[\xi] \\ & \mathbb Q \ar@{-} }[/tex]
Considera l'applicazione [tex]\text{Gal}(M[\xi]/M) \to \text{Gal}(\mathbb Q[\xi] / M \cap \mathbb Q[\xi])[/tex] definita di nuovo dalla restrizione. E' ben definita perché [tex]\mathbb Q[\xi][/tex] è di Galois su [tex]\mathbb Q[/tex]. E' iniettiva: se [tex]\varphi \in \text{Gal}(M[\xi]/M)[/tex] è tale che [tex]\varphi |_{\mathbb Q[\xi]} = \text{id}_{\mathbb Q[\xi]}[/tex] allora hai che [tex]\varphi[/tex] è l'identità su [tex]M[/tex] (per definizione!) e fissa [tex]\xi[/tex], quindi è l'identità di [tex]M[\xi][/tex]. Segue che [tex]\text{Gal}(M[\xi]/M) \subset \text{Gal}(\mathbb Q[\xi]/ M \cap \mathbb Q[\xi]) \subset \text{Gal}(\mathbb Q[\xi]/\mathbb Q)[/tex], e visto che le estensioni ciclotomiche sono abeliane...
"mralfatron87":
3)"$M[\xi]=K[\xi,a][a_2,\ldots,a_n]$ è radicale". qui non so davvero casa dire. In che modo la radicalità di un'estensione mi da indizi sulla risolubilità del gruppo di Galois?
Dovrebbe essere un'applicazione del caso 1), perché adesso [tex]K[\xi][/tex] ha le radici dell'unità che vuoi...
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