Estensioni ecc...
Salve.. mi sono imbattuta in questo esercizio..
Sia A=$QQ(sqrt(5))[X]$/$(X^2-X+2)$
1)Provare che A è un campo di estensione di $QQ(sqrt(5))$.
2)Si consideri l'estensione $QQ(\pi^4)$ su $QQ$. Mostare che $\pi$è algebrico su $QQ(\pi^4)$ e che $QQ(\pi^4)~=QQ(\pi)$
3)Costruire esplicitamente l'estensione $A=QQ(sqrt(5),\pi)$ e mostare che non è algebrica su $QQ$.
spero mi aiutate.. perchè non so dove metter mano per prima ...
il primo e il secondo punto sono arabo.. traduzione?????:(
Sia A=$QQ(sqrt(5))[X]$/$(X^2-X+2)$
1)Provare che A è un campo di estensione di $QQ(sqrt(5))$.
2)Si consideri l'estensione $QQ(\pi^4)$ su $QQ$. Mostare che $\pi$è algebrico su $QQ(\pi^4)$ e che $QQ(\pi^4)~=QQ(\pi)$
3)Costruire esplicitamente l'estensione $A=QQ(sqrt(5),\pi)$ e mostare che non è algebrica su $QQ$.
spero mi aiutate.. perchè non so dove metter mano per prima ...
il primo e il secondo punto sono arabo.. traduzione?????:(
Risposte
I) [tex]\mathbb{Q}\sqrt5[x][/tex] è un dominio d'integrità; in particolare un anello commutativo unitario, quel suo quoziente sarebbe un campo se e solo se [tex](x^2-x+2)[/tex] fosse un suo ideale massimale. Provato questo l'asserto segue per definizione.
II) Devi trovare un polinomio a coefficienti in [tex]\mathbb{Q}(\pi^4)[/tex] tale che [tex]\pi[/tex] né sia una soluzione. Noti che [tex]\pi^4\in\mathbb{Q}(\pi)[/tex] ed hai concluso.
III) Basta notare che [tex]\pi[/tex] è trascendente su [tex]\mathbb{Q}[/tex].
II) Devi trovare un polinomio a coefficienti in [tex]\mathbb{Q}(\pi^4)[/tex] tale che [tex]\pi[/tex] né sia una soluzione. Noti che [tex]\pi^4\in\mathbb{Q}(\pi)[/tex] ed hai concluso.
III) Basta notare che [tex]\pi[/tex] è trascendente su [tex]\mathbb{Q}[/tex].
come provo che $(x^2-x+2)$è massimale?
Prima te lo calcoli, consideri un elemento "fuori" di esso e vedi che la loro unione genera tutto il dominio d'integrità!
"j18eos":
Prima te lo calcoli, consideri un elemento "fuori" di esso e vedi che la loro unione genera tutto il dominio d'integrità!
non capisco:(
I) Devi determinare gli elementi elementi di tale ideale mediante la definizione di ideale generato da un elemento di un dominio d'integrità unitario.
II) Detto [tex]I[/tex] tale ideale devi provare che per un qualsiasi dato [tex]a\not\in I[/tex] si ha che [tex](\{a\};I)=\mathbb{Q}\sqrt5[x][/tex].
II) Detto [tex]I[/tex] tale ideale devi provare che per un qualsiasi dato [tex]a\not\in I[/tex] si ha che [tex](\{a\};I)=\mathbb{Q}\sqrt5[x][/tex].
"j18eos":
I) Devi determinare gli elementi elementi di tale ideale mediante la definizione di ideale generato da un elemento di un dominio d'integrità unitario.
II) Detto [tex]I[/tex] tale ideale devi provare che per un qualsiasi dato [tex]a\not\in I[/tex] si ha che [tex](\{a\};I)=\mathbb{Q}\sqrt5[x][/tex].
non mi puoi fare i passaggi.. xke nn capisco:-(
Ti do solo il risultato del I punto in quanto è più breve:
[tex]I=(x^2-x+2)=\{(x^2-x+2)\cdot f\mid f\in\mathbb{Q}(\sqrt5)[x]\}[/tex]
come elemento [tex]a[/tex] puoi scegliere semplicemente [tex]\sqrt5[/tex].
[tex]I=(x^2-x+2)=\{(x^2-x+2)\cdot f\mid f\in\mathbb{Q}(\sqrt5)[x]\}[/tex]
come elemento [tex]a[/tex] puoi scegliere semplicemente [tex]\sqrt5[/tex].
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