Estensioni e polinomi minimi

[sofiza1]

Ciao a tutti! Sono in difficoltà con la risoluzione di questo esercizio:

(a)sia $z= e^((2ipi)/(n)) =cos ((2pi)/(n)) +isin ((2pi)/(n))$. Si dimostri che $QQsubQQ(z)$ è un'estansione normale
(b) per $z=cos(pi/6) +isin(pi/6)$ si dimostri [$QQ(z)$:$QQ$]=4 e si trovi il poinomio minimo su $QQ$
(c)L'anello quoziente $ZZ$/$(2+3i)$ è un campo? se si,si determini la sua caratteristica.

per il punto (a),per esempio,avevo pensato di trovare il polinomio minimo di $z$ su $QQ(z)$ e vedere se tutte le radici stanno o meno in $QQ(z)$..però sono già bloccata nella ricerca del polinomio minimo!
Grazie in anticipo!

[sofiza1]

Non capisco proprio come si trova il polinomio minimo di $z= e^((2ipi)/(n)) =cos ((2pi)/(n)) +isin ((2pi)/(n))$ e $z=cos(pi/6) +isin(pi/6)$..qualcuno mi puo' aiutare??

[Studente Anonimo]

Dovresti almeno proporre le tue riflessioni, altrimenti non si capisce nemmeno quanta teoria puoi usare. Conosci i polinomi ciclotomici? Sai cosa sono i [tex]\mathbb{Q}[/tex]-automorfismi? E il gruppo di Galois?

[sofiza1]

Ok..i polinomi ciclotomici non li conosco e la teoria di Galois l'ho appena iniziata..

Per il punto (b) se fossi in $CC$ direi che il polinomio minimo di $cos(pi/6) +isin(pi/6)$ è $x^6+1$..posso dire che è lo stesso anche in $QQ$??

[Studente Anonimo]

Il polinomio minimo di [tex]e^{2 \pi i/n}[/tex] si chiama polinomio ciclotomico [tex]n[/tex]-esimo, e i suoi zeri sono tutti e soli gli elementi del tipo [tex]e^{2 \pi k i/n}[/tex] con [tex](k,n)=1[/tex]. Non ritengo che la dimostrazione di questo fatto sia riducibile a "esercizio", ma magari mi sbaglio.

"sofiza":Per il punto (b) se fossi in $CC$ direi che il polinomio minimo di $cos(pi/6) +isin(pi/6)$ è $x^6+1$..posso dire che è lo stesso anche in $QQ$??

Il polinomio minimo dell'elemento [tex]z=\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)[/tex] su [tex]\mathbb{C}[/tex] e' ovviamente [tex]x-z[/tex]. E' vero che [tex]x^6+1[/tex] ha [tex]z[/tex] come zero, ora se vuoi mostrare che si tratta del polinomio minimo su [tex]\mathbb{Q}[/tex] devi dimostrare che e' irriducibile su [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Ti avviso pero' che questo non e' vero.