Estensioni e loro proprietà
Sia $K$$sub$$K$$(alpha )$ un’estensione di campi di grado dispari
perchè per ogni $alpha$ si ha che $K(alpha )$ = $K$ $(alpha$$^2)$ ??
poi inoltre dato un numero $u$..per dimostrare che $Q$$(u)$$=$$Q$($u^2$)devo trovare il polinomio minimo di $u$ e quello di $u^2$ su $Q$ e se nono uguali allora questo è verificato?
perchè per ogni $alpha$ si ha che $K(alpha )$ = $K$ $(alpha$$^2)$ ??
poi inoltre dato un numero $u$..per dimostrare che $Q$$(u)$$=$$Q$($u^2$)devo trovare il polinomio minimo di $u$ e quello di $u^2$ su $Q$ e se nono uguali allora questo è verificato?
Risposte
Allora, un'inclusione è ovvia cioè \( K(\alpha^2) \subseteq K(\alpha) \), viene proprio dalla definizione. Adesso supponi per assurdo che siano diversi. In particolare hai che \( \alpha \) non appartiene a \( K(\alpha^2) \).
Così ottieni un'inclusione propria di campi di questo tipo : \( K \subset K(\alpha^2) \subset K(\alpha) \) e il grado \( [K(\alpha):K]=[K(\alpha):K(\alpha^2)][K(\alpha^2):K]=2 [K(\alpha^2):K] \) infatti il polinomio minimo di \( \alpha \) su \( K(\alpha^2) \) è \( x^2 - \alpha^2 \) (irriducibile per quanto detto).
Essendo il grado dispari arrivi ad un assurdo.
Per la seconda domanda dipende dai casi...hai un testo di un esercizio preciso? In ogni caso, grazie alla proposizione, se trovi che il polinomio minimo è di grado dispari hai concluso.
Così ottieni un'inclusione propria di campi di questo tipo : \( K \subset K(\alpha^2) \subset K(\alpha) \) e il grado \( [K(\alpha):K]=[K(\alpha):K(\alpha^2)][K(\alpha^2):K]=2 [K(\alpha^2):K] \) infatti il polinomio minimo di \( \alpha \) su \( K(\alpha^2) \) è \( x^2 - \alpha^2 \) (irriducibile per quanto detto).
Essendo il grado dispari arrivi ad un assurdo.
Per la seconda domanda dipende dai casi...hai un testo di un esercizio preciso? In ogni caso, grazie alla proposizione, se trovi che il polinomio minimo è di grado dispari hai concluso.
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