Estensioni e corrispondenza di Galois

[otta96]

Se io ho un'estensione di Galois (finita) $E|F$, il teorema fondamentale della teoria di Galois (TFTG) mi dice che esiste una biezione tra il reticolo degli intercampi e quello dei sottogruppi del $Gal(E|F)$.
Mi stavo chiedendo se questa fosse una caratterizzazione delle estensioni di Galois (finite), cioè se vale che un'estensione finita è di Galois SSE vale la tesi del TFTG.
Io non saprei cercare controesempi del genere, quindi è per questo che mi rivolgo a voi e vi ringrazio in anticipo per le risposte.

[killing_buddha]

Sì; puoi sempre definire la corrispondenza che lega campi intermedi e sottogruppi del gruppo degli $F$-automorfismi di $E$, ma in generale, per una estensione che non è di Galois, questa non sarà una biiezione antitona ma solo una aggiunzione tra poset.

[otta96]

Grazie della risposta, come al solito
Comunque di recente ho cominciato a studiare queste cose e nella teoria che abbiamo fatto ho trovato un risultato che mi ero completamente dimenticato e risponde alla mia domanda, ovvero il seguente

Teorema $K|F$ estensione finita, $G=Gal(K|F)$, allora $K|F$ è di Galois $<=> Inv_K(G)=F$.

In pratica basta che un caso particolare di uno dei due versi della corrispondenza di Galois funzioni per poter dire che l'estensione è di Galois.

[Studente Anonimo]

otta96, ti faccio notare che la tua domanda è possibilmente ambigua. Quando chiedi se l'esistenza di una biiezione implica Galois intendi una qualsiasi biiezione oppure la biiezione di Galois? (quella che manda un intercampo nel gruppo che lo fissa e un sottogruppo nel suo campo fissato). Perché se la vuoi così allora è facile e come dici vale il viceversa, se invece vuoi una biiezione qualsiasi forse bisogna pensarci un po'.

[otta96]

Intendevo "la" biezione, cioè quella di Galois, più precisamente quella del teorema fondamentale della teoria di Galois, che si può sempre definire.
Non mi ero accorto di questa possibile ambiguità, mi scuso per questo e ti ringrazio per avermelo fatto notare.