Estensioni di $QQ$

[miuemia]

ciao a tutti vi chiedo se questa estensione di$QQ$ è semplice... io a dir la verità non so dire neanxhe se è finita:
$QQ(T^6,T^10)//QQ$ dove $T$ è un elemento trascendente su $QQ$...
grazie a tutti

[Studente Anonimo]

Un'estensione di Q finita è semplice (teorema dell'elemento primitivo), quindi non capisco il tuo "neanche"

Non so se quella estensione sia semplice, ma fossi in te proverei a dimostrare che non lo è (poi magari mi sbaglio...).

Edito: mi correggo, è semplice.

[miuemia]

il mio nenache era riferito al fatto che non so se quella sia finita... secondo me nn lo è.
però non so cm dimostrarlo.

[miuemia]

e come mai????

[Studente Anonimo]

Se fosse finita sarebbe automaticamente semplice, quindi il fatto di essere finita in questo caso è più forte del fatto di essere semplice.

Prendi l'estensione $QQ(T^2)$ e cerca di dimostrare che è quella.

[miuemia]

si vede facilmente che $T^6,T^10\inQQ(T^2)$ ma l 'altra inclusione non riesco a dimostrarla...ah forse così visto che $QQ(T^6,T^10)$ è campo allora ci sta anche $T^6/T^10=1/T^4$ e facendo $T^6 (1/T^4)=T^2$... va bene cosi????

[Studente Anonimo]

Perché non dovrebbe andare bene?

[miuemia]

chiedp una conferma....

[Studente Anonimo]

Ah ok

Si, va bene.

Ciao

[miuemia]

questa estensione $QQ(T,V^2)//QQ$ dove $T,V$ sono elementi trascendenti su $QQ$ è semplice????

[miuemia]

io penso di no...poichè se per assurdo fosse semplice allora dovrebbe esiste un $S$ sempre trascendente tale che $QQ(S)=QQ(T,V^2)$
in particolare $S^h=T$ e $S^k=V^2$ per opportuni $h,k\in ZZ$ allora avrei che $S=T^{1/h}=V^{2/k}$ ma non esistono $h,k\in ZZ$ per cui vale questa uguaglianza in quanto $T!=V$...

[Studente Anonimo]

"miuemia":io penso di no...poichè se per assurdo fosse semplice allora dovrebbe esiste un $S$ sempre trascendente tale che $QQ(S)=QQ(T,V^2)$
in particolare $S^h=T$ e $S^k=V^2$ per opportuni $h,k\in ZZ$

E perché? T potrebbe benissimo essere una qualsiasi frazione di polinomi in S, e lo stesso per $V^2$.

allora avrei che $S=T^{1/h}=V^{2/k}$ ma non esistono $h,k\in ZZ$ per cui vale questa uguaglianza in quanto $T!=V$...

Il fatto che T e V fossero diversi era nelle ipotesi?

D'altra parte se prendi $T=\pi$ e $V=\pi^3$, essi sono diversi ed entrambi trascendenti ma l'estensione $QQ(\pi,(\pi^3)^2)$ è semplice, uguale a $QQ(\pi)$.

Forse dovresti distinguere i seguenti due casi:

a) $T$ e $V^2$ sono algebricamente indipendenti, cioè non esistono polinomi $P$ di $QQ[X,Y]$ tali che $P(T,V^2)=0$;
b) $T$ e $V^2$ sono algebricamente dipendenti, cioè esiste un polinomio $P$ di $QQ[X,Y]$ tale che $P(T,V^2)=0$.

La tua idea è buona, ma la devi formalizzare un po' meglio...