Estensioni di Q

[manuxy84]

Ho qualche problema con questo esercizio:

Sia $K=QQ(sqrt(2),sqrt(5))$.
Trovare un elemento $x in K$ tale che $K=QQ(x)$.
Quali sono gli elementi $b in K$ tali che $b^2 in QQ$?

Se non ho capito male l'insieme $K$ è fatto così:

$K={a + b*sqrt(2) + c*sqrt(5) + d*sqrt(10) | a,b,c,d in QQ}$

Quindi gli elementi $b in K$ tali che $b^2 in QQ$ sono tutti i polinomi in cui $b,c,d =0$ ?
Come posso trovare $x$ ?

Grazie

[Paolo902]

Ciao.

Tu stai cercando quello che si chiama "elemento primitivo" (e la cui esistenza è garantita - in caratteristica zero - da un noto teorema). Nel tuo caso è facile: prova a considerare $x=sqrt2+sqrt5$ e a confrontare le estensioni $QQ(sqrt2, sqrt5)$ e $QQ(sqrt2+sqrt5)$.

[manuxy84]

Ok, più o meno ci sono...

I polinomi minimi di $sqrt(2)$ e $sqrt(5)$ su $QQ$ sono $f_1(x)=x^2-2$ le cui radici sono $u_1=sqrt(2)$, $u_2=-sqrt(2)$ e $f_2(x)=x^2-5$ le cui radici sono $v_1=sqrt(5)$ e $v_2=-sqrt(5)$. Un elemento primitivo è $a=sqrt(2) + c*sqrt(5)$ con $c in QQ$ tale che
$sqrt(2)-c*sqrt(5)!=sqrt(2)+c*sqrt(5)$ e $-sqrt(2)-c*sqrt(5)!=sqrt(2)+c*sqrt(5)$ ovvero $c notin {0,-sqrt(2)/sqrt(5)}$.
Essendo $c in QQ$ risulta semplicemente $c!=0$ quindi un elemento primitivo è ad esempio $a=sqrt(2) + sqrt(5)$.
Corretto?

Per quanto riguarda i $b in K$ tali che $b^2 in QQ$ sono i polinomi con $b,c,d =0$ ?

grazie

[maurer]

La giustificazione che dai al primo punto va bene, in quanto segue la dimostrazione del teorema a cui faceva riferimento Paolo90. Si potrebbe però anche dimostrare direttamente che [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{5}] = \mathbb{Q}[\sqrt{2}+\sqrt{5}] =: K[/tex]. Infatti un'inclusione è ovvia, mentre per l'altra basta osservare che [tex](\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 = 7 + 2 \sqrt{10}[/tex] e quindi [tex]\sqrt{10} \in K[/tex], da cui [tex]3\sqrt{2} = (\sqrt{2}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{10} - 2(\sqrt{2}+\sqrt{5}) \in K[/tex] e infine [tex]\sqrt{5} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \in K[/tex]. Quindi [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{5}] \subseteq K[/tex].

Per quanto riguarda il secondo punto, dovresti vedere da sola che è sbagliato. Infatti [tex](\sqrt{2})^2 \in \mathbb{Q}[/tex] e in questo caso [tex]a = c = d = 0[/tex], [tex]b =1[/tex].

[manuxy84]

Grazie per l'alternativa maurer.

Vero per il secondo punto, non sono stata molto attenta...

Forse ai polinomi con $b,c,d =0$ bisogna aggiungere quelli in cui solo uno tra $a,b,c,d$ è diverso da zero?

[maurer]

Potrebbe anche essere giusto. Ma per essere sicura, devi controllare il caso generale, cioè imporre che [tex](a+b\sqrt{2}+c\sqrt{5}+d\sqrt{10})^2\in\mathbb{Q}[/tex]. Si tratta di sviluppare il quadrato ed imporre che il risultato sia razionale. Questo è, secondo me, il modo corretto di svolgere l'esercizio. Probabilmente, si arriva al risultato che hai detto tu...