Estensioni di Galois
Buongiorno a tutti! Ho alcune difficoltà sulla Teoria di Galois... ad esempio come posso dimostrare se $QQ sub QQ(i)$, $QQ sub QQ(root(3)(4))$, $QQ sub QQ(i, sqrt(7))$ sono estensioni di Galois? Grazie a tutti!
Risposte
Ciao!
Allora un'estensione è di Galois sse è normale e separabile.
Poichè le estensioni che hai lì sono tutte estensioni di $Q$ la separabilità non è un problema.
Per controllare che l'estensione sia normale devi prendere gli elementi aggiunti dell'estensione (Per esempio nel primo caso $i$) calcolare il polinomio minimo
e vedere se tutte le radici del polinomio minimo stanno dentro l'estensione. Se si, l'estensione è normale (per definizione).
Chiaro?
Allora un'estensione è di Galois sse è normale e separabile.
Poichè le estensioni che hai lì sono tutte estensioni di $Q$ la separabilità non è un problema.
Per controllare che l'estensione sia normale devi prendere gli elementi aggiunti dell'estensione (Per esempio nel primo caso $i$) calcolare il polinomio minimo
e vedere se tutte le radici del polinomio minimo stanno dentro l'estensione. Se si, l'estensione è normale (per definizione).
Chiaro?
Si può fare così?:
Trovi il grado dell'estensione (nel primo caso è 2, infatti $x^2+1$ è polinomio minimo di i su $QQ$ e questo si dimostra facilmente)
poi prendi uno degli automorfirmi che stanno nel gruppo di galois $ Gal(QQ(i)$ / $QQ$) che per definizione è l'identità per gli elementi di $QQ$ e devi vedere che non sia l'identità per i, poichè se lo fosse $Gal(QQ(i)$ / $QQ$) ={id} e quindi |$Gal(QQ(i)$ / $QQ$$)$|=1 e sarebbe diverso dal grado dell'estensione quindi non sarebbe un'estensione di galois.
Comunque la prima è di galois perchè $phi(i)^2=phi((i)^2)=phi(-1)=$ (poichè $-1 in QQ$) $=-1=i^2$ quindi $phi(i)=+-i$ quindi $phi$ o è l'identità o è un automorfismo che manda nel suo opposto l'elemento quindi $Gal(QQ(i)$ / $QQ$)=2=|$QQ sub QQ(i)$| quindi è un'estensione di galois.
Trovi il grado dell'estensione (nel primo caso è 2, infatti $x^2+1$ è polinomio minimo di i su $QQ$ e questo si dimostra facilmente)
poi prendi uno degli automorfirmi che stanno nel gruppo di galois $ Gal(QQ(i)$ / $QQ$) che per definizione è l'identità per gli elementi di $QQ$ e devi vedere che non sia l'identità per i, poichè se lo fosse $Gal(QQ(i)$ / $QQ$) ={id} e quindi |$Gal(QQ(i)$ / $QQ$$)$|=1 e sarebbe diverso dal grado dell'estensione quindi non sarebbe un'estensione di galois.
Comunque la prima è di galois perchè $phi(i)^2=phi((i)^2)=phi(-1)=$ (poichè $-1 in QQ$) $=-1=i^2$ quindi $phi(i)=+-i$ quindi $phi$ o è l'identità o è un automorfismo che manda nel suo opposto l'elemento quindi $Gal(QQ(i)$ / $QQ$)=2=|$QQ sub QQ(i)$| quindi è un'estensione di galois.
allora per il primo punto ci sono riuscita.Per il secondo ho calcolato il polinomio minimo di $root(3)(4)$ cioè $x^3-4=0$ le cui radici in $CC$ sono $root(3)(4),alpharoot(3)(4),alpha^2root(3)(4)$ con $alpha=e^((4pii)/3)$, che non sono tutte in $QQ(root(3)(4))$, dunque questa non è un estensione di Galois. Per il terzo punto mi potete aiutare voi?
Bene per le prime due.
Per la terza procedi a torre, per il grado dell'estensione considera prima $QQ(i):QQ$ e poi $Q( sqrt(7) , i) : QQ(i)$ e trovi i polinomi minimi dei due elementi aggiunti. Poi vedi se le radici dei p. min. sono tutte dentro l'estensione.
Per la terza procedi a torre, per il grado dell'estensione considera prima $QQ(i):QQ$ e poi $Q( sqrt(7) , i) : QQ(i)$ e trovi i polinomi minimi dei due elementi aggiunti. Poi vedi se le radici dei p. min. sono tutte dentro l'estensione.
non ho capito... devo trovare il polinomio minimo di $i$ e di $root(3)(4)$?
Allora il secondo esercizio è finito. Una volta che hai detto che non ci sono tutte le radici hai finito. L'estensione non è normale, quindi non può essere di Galois.
I miei consigli erano relativi al terzo esercizio.
I miei consigli erano relativi al terzo esercizio.
si scusa mi sono sbagliata volevo dire di $i$ e $sqrt(7)$..
Si, esatto. cerca i polinomi minimi di questi due elementi, e dalla regola della torre vedi qual è il grado dell'estensione.
ok il polinomio minimo di $i$ è sempre $x^2+1$ mentre quello di $sqrt(7)$ è $X^2-7$ le cui radici in $CC$ sono $sqrt(7), - sqrt(7)$. Direi che sono contenute in $QQ(i, sqrt(7))$ perchè $i^2=-1$. E' giusto?
si, sono certamene tutte contenute ma per una ragione più semplice, e cioè che se in quell'estensione (che è un campo) c'è $ sqrt(7) $ c'è anche il suo opposto, e lo stesso vale per $i$.
Quindi mi sai elencare chi sono i quattro automorfismi dell'estensione?
[mod="Martino"]Ho tolto un \$ di troppo. Claudiamatica, cerca di non scrivere due \$ affiancati, altrimenti la formula non viene visualizzata correttamente (almeno in alcuni browser, forse tu non vedi errori). Grazie.[/mod]
Quindi mi sai elencare chi sono i quattro automorfismi dell'estensione?
[mod="Martino"]Ho tolto un \$ di troppo. Claudiamatica, cerca di non scrivere due \$ affiancati, altrimenti la formula non viene visualizzata correttamente (almeno in alcuni browser, forse tu non vedi errori). Grazie.[/mod]
uno è l'identità; uno è $phi(i)=-i$; uno è $phi(sqrt(7))=-sqrt(7)$; e l'altro $phi(i)=-i, phi(sqrt(7))=-sqrt(7)$.
giusto?
giusto?
si, perfetto
ok... grazie mille per l'aiuto!!!
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