Estensioni di Galois
Qualcuno sa fornirmi una dimostrazione di questo teorema: Siano F e K due campi, con F estensione finita di K. Se F è una estensione di Galois di K allora F è estensione normale e separabile di K.
Risposte
In base alle definizioni che sono state date a me una estensione di Galois è una estensione che sia finita (algebrica più in generale), normale e separabile, quindi non c'è niente da dimostrare.
Immagino tu usi una definizione diversa, se vuoi una mano dovresti dircela.
Immagino tu usi una definizione diversa, se vuoi una mano dovresti dircela.
Una definizione alternativa è questa, più intrinseca, e che si dimostra essere equivalente:
una estensione di campi $K\to F$ è di Galois se l'aggiunzione antitòna tra le estensioni intermedie $K\to E\to F$ e i sottogruppi $H$ del gruppo dei $K$-automorfismi di $F$ che manda $E$ nel gruppo degli automorfismi $\sigma$ tali che \(\sigma|_E=1_E\) è una biiezione con inversa la mappa che manda $H$ nel sottocampo di $F$ degli elementi fissati da ogni $\sigma\in H$.
Da qui devi dimostrare che l'estensione è normale e separabile; è questo che vuoi?
una estensione di campi $K\to F$ è di Galois se l'aggiunzione antitòna tra le estensioni intermedie $K\to E\to F$ e i sottogruppi $H$ del gruppo dei $K$-automorfismi di $F$ che manda $E$ nel gruppo degli automorfismi $\sigma$ tali che \(\sigma|_E=1_E\) è una biiezione con inversa la mappa che manda $H$ nel sottocampo di $F$ degli elementi fissati da ogni $\sigma\in H$.
Da qui devi dimostrare che l'estensione è normale e separabile; è questo che vuoi?
Siano F estensione di grado finito di K e G il gruppo di Galois di F su K. F è un 'estensione di galois di K se e solo se K è costituito da tutti e soli gli elementi di F che vengono fissati da un qualunque elemento di G.
"otta96":
In base alle definizioni che sono state date a me una estensione di Galois è una estensione che sia finita (algebrica più in generale), normale e separabile, quindi non c'è niente da dimostrare.
Immagino tu usi una definizione diversa, se vuoi una mano dovresti dircela.
Uso questo definizione: Siano F un'estensione di grado finito di K e G il gruppo di Galois di F su K. F è un'estensione di Galois di K se e solo se K è costituito da tutti e soli gli elementi di F fissati da tutti gli elementi di G.
Allora quella che fa al caso tuo è la proposizione 7.10 a pagina 127 di queste dispense: http://web.math.unifi.it/users/casolo/d ... 2_2015.pdf, le definizioni sono un po' diverse dalle tue, controllale e inoltre usa qualche teorema che ha dimostrato prima, forse li conosci già, sennò dagli un'occhiata.
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