Estensioni di campo ed anelli polinomio
Se $QQ(alpha)$ ed $QQ(beta)$ sono rispettivamente due estensioni algebriche isomorfe, i relativi anelli di polinomi $QQ(alpha)[x]$ ed $QQ(beta)[x]$ sono anch'essi isomorfi potendo estendere l'isomorfismo, vero?
Risposte
Yes
Ok!
Indicando con $phi$ tale isomorfismo comunque preso un polinomio a coefficienti in $QQ(alpha)$ , tale che $ (c_0+ c_1x+...+c_ix^i+..+c_nx^n)(x-alpha)=a_0+a_1x+..+a_ix^i+....+a_nx^n$ con $a_0,a_1,..a_i,..a_n $ $in$ $QQ$, sarà anche
$(phi(c_0)+phi(c_1)x+..phi(c_i)x^i+...+phi(c_n)x^n)(x-phi(beta))=b_0+b_1x+...+b_ix^i+...+b_nx^n$ con $b_0,b_1,..b_i,..b_n$ $ in $ $QQ$ ed essendo che gli elementi in $QQ$ vengono lasciati fissi dall'isomorfismo $phi$ sara $phi(a_i)=b_i$.
Indicando con $phi$ tale isomorfismo comunque preso un polinomio a coefficienti in $QQ(alpha)$ , tale che $ (c_0+ c_1x+...+c_ix^i+..+c_nx^n)(x-alpha)=a_0+a_1x+..+a_ix^i+....+a_nx^n$ con $a_0,a_1,..a_i,..a_n $ $in$ $QQ$, sarà anche
$(phi(c_0)+phi(c_1)x+..phi(c_i)x^i+...+phi(c_n)x^n)(x-phi(beta))=b_0+b_1x+...+b_ix^i+...+b_nx^n$ con $b_0,b_1,..b_i,..b_n$ $ in $ $QQ$ ed essendo che gli elementi in $QQ$ vengono lasciati fissi dall'isomorfismo $phi$ sara $phi(a_i)=b_i$.
"francicko":Questo messaggio non ha senso; piuttosto, quello che chiedi è vero semplicemente perché se \(R,S\) sono due anelli isomorfi, allora sono isomorfi anche gli anelli dei polinomi \(R[x],S[x]\)...
Ok!
Indicando con $phi$ tale isomorfismo comunque preso un polinomio a coefficienti in $QQ(alpha)$ , tale che $ (c_0+ c_1x+...+c_ix^i+..+c_nx^n)(x-alpha)=a_0+a_1x+..+a_ix^i+....+a_nx^n$ con $a_0,a_1,..a_i,..a_n $ $in$ $QQ$, sarà anche
$(phi(c_0)+phi(c_1)x+..phi(c_i)x^i+...+phi(c_n)x^n)(x-phi(beta))=b_0+b_1x+...+b_ix^i+...+b_nx^n$ con $b_0,b_1,..b_i,..b_n$ $ in $ $QQ$ ed essendo che gli elementi in $QQ$ vengono lasciati fissi dall'isomorfismo $phi$ sara $phi(a_i)=b_i$.
Scusa se insisto ma La mia domanda è chiara sia $QQ$ campo dei razionali , e sia $p(x)$ un polinomio ivi irriducibile, siao $alpha$ , $beta$ due sue qualsiasi radici, avremo che $Q(a)$ $~~$ $Q(beta)$ secondo un isomorfismo $phi$, indicato con $a_1,a_2,...a_i...$ ed $b_2,b_2,...b_i,...$ gli insiemi dei loro rispettivi elementi, e stabilito che $phi(a_i)=(b_i)$ ,allora anche i rispettivi anelli di polinomi $Q(alpha)[x]$ ed $Q(beta)[x]$ sono isomorfi, su questi anelli posso eseguire la divisione euclidea, rispettivamente avro $(p(x))/(x-alpha)=p_alpha(x)$ a coefficienti in $Q(alpha)$ ed $(p(x))/(x-beta)=p_beta$, a coefficienti in $Q(beta)$ allora l'isomorfismo $phi$ restera esteso ai loro rispettivi coefficienti.
"gli insiemi dei loro rispettivi elementi"? Ma che stai dicendo?
Scusa , ho scritto male, volevo dire gli elementi dei rispettivi campi $QQ(alpha)$ ed $QQ(beta)$.
Ho letto ma non capisco proprio cosa stai chiedendo.
Scusatemi probabilmente sono io che mi esprimo male, sto cercando solo di capire.
Un campo di spezzamento di un polinomio si ottiene con l'aggiunzione successiva di una radice per volta a partire dal campo base $F$ giusto?
Il fatto che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio $p^n(x)$ siano isomorfi equivale a dire che
$F(alpha_1,alpha_2,....alpha_i,...alpha_n)$ $~~$ $F(alpha_(i_1),alpha_(i_2),.....,alpha_(i_n)$ con $(i_1,i_3,...i_n)$ una qualsiasi permutazione degli indici
$(1,2,...n)$, giusto?
Sia per semplicità $p^n(x)$ un polinomio irriducibile in $F$ , considero i due campi $F(alpha_1)$ ed $F(alpha_(i_1))$ ottenuti aggiungendo rispettivamente
le radici $alpha_1$ ed $alpha_(i_1)$, essi risulteranno isomorfi secondo un isomorfismo $phi$ che lascia fisso ogni elemento del campo base $F$
Ora aggiungo al campo $F(alpha_1)$ la radice $alpha_2$ ed indico con $p_2^s(x)$ il suo polinomio minimo .
Aggiungo $alpha_(i_2)$ al campo $F_(alpha_(i_1))$ ed indico con $p_(i_2)^k(x)$ il suo polinomio minimo;
Dovrà necessariamente aversi $k=s$ ed indicato con $a_i$ un coefficiente di $p_2(x)$ ed rispettivamente con $b_i$ un coefficiente di $p_(i_2)(x)$ avro $phi(a_i)=b_i$
Terminando il procedimento sino a raggiungere i rispettivi campi di spezzamento, avrò che saranno isomorfi.
Un campo di spezzamento di un polinomio si ottiene con l'aggiunzione successiva di una radice per volta a partire dal campo base $F$ giusto?
Il fatto che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio $p^n(x)$ siano isomorfi equivale a dire che
$F(alpha_1,alpha_2,....alpha_i,...alpha_n)$ $~~$ $F(alpha_(i_1),alpha_(i_2),.....,alpha_(i_n)$ con $(i_1,i_3,...i_n)$ una qualsiasi permutazione degli indici
$(1,2,...n)$, giusto?
Sia per semplicità $p^n(x)$ un polinomio irriducibile in $F$ , considero i due campi $F(alpha_1)$ ed $F(alpha_(i_1))$ ottenuti aggiungendo rispettivamente
le radici $alpha_1$ ed $alpha_(i_1)$, essi risulteranno isomorfi secondo un isomorfismo $phi$ che lascia fisso ogni elemento del campo base $F$
Ora aggiungo al campo $F(alpha_1)$ la radice $alpha_2$ ed indico con $p_2^s(x)$ il suo polinomio minimo .
Aggiungo $alpha_(i_2)$ al campo $F_(alpha_(i_1))$ ed indico con $p_(i_2)^k(x)$ il suo polinomio minimo;
Dovrà necessariamente aversi $k=s$ ed indicato con $a_i$ un coefficiente di $p_2(x)$ ed rispettivamente con $b_i$ un coefficiente di $p_(i_2)(x)$ avro $phi(a_i)=b_i$
Terminando il procedimento sino a raggiungere i rispettivi campi di spezzamento, avrò che saranno isomorfi.
"francicko":
Il fatto che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio $p^n(x)$ siano isomorfi equivale a dire che
$F(alpha_1,alpha_2,....alpha_i,...alpha_n)$ $~~$ $F(alpha_(i_1),alpha_(i_2),.....,alpha_(i_n)$ con $(i_1,i_3,...i_n)$ una qualsiasi permutazione degli indici
$(1,2,...n)$, giusto?
Assolutamente no, quei due campi sono uguali. Questo è ovvio, permutare i generatori di un campo non cambia il campo. Essendo uguali, sono in particolare isomorfi (due campi uguali sono ovviamente isomorfi).
Quanto al resto, come al solito sei molto vago e non si capisce. Nello specifico, devi abituarti a fare affermazioni chiare e inequivocabili.
E come al solito non capirò mai perché non ti metti a studiare.
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